Seja
uma matriz ortogonal cujas colunas são vetores de
. Mostre que:
a)
, para quaisquer
em
.
b)
, para qualquer
em
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
ortogonal em
. Por definição, isso significa que
onde
é a matriz identidade de ordem
. Precisamos usar as definições de produto interno
e de norma
,
além da propriedade .
e de norma
além da propriedade
Passo 2
Para qualquer par de vetores
, vamos calcular o produto interno de
e
. Usando
, temos
Isso prova o item (a).
Passo 3
Para o item (b), note que
Pelo resultado do item (a) com
, segue
Como normas são não-negativas, basta extrair a raiz quadrada para obter
Resposta
a)
.
b) .
b)