Seja A uma matriz ortogonal cujas colunas são vetores de R^n. Mostre que:
a) lang<= A u, A vrang<==lang<=u, vrang<=, para quaisquer u, v em R^n.
b) |Av|=|v|, para qualquer v em R^n.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A ortogonal em R^n. Por definição, isso significa que
A^T A = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n. Precisamos usar as definições de produto interno
lang<= x,yrang<= = x^T y
e de norma
|x| = raizlang<= x,xrang<=,
além da propriedade A^T A = In.

Passo 2

Para qualquer par de vetores u,vinR^n, vamos calcular o produto interno de Au e Av. Usando lang<= x,yrang<= = x^T y, temos
lang<= Au,Avrang<= = (Au)^T (Av) = u^T A^T A,v = u^T In,v = u^T v = lang<= u,vrang<=
Isso prova o item (a).

Passo 3

Para o item (b), note que
|Av|^2 = lang<= Av,Avrang<=
Pelo resultado do item (a) com u=v, segue
|Av|^2 = lang<= v,vrang<= = |v|^2
Como normas são não-negativas, basta extrair a raiz quadrada para obter
|Av| = |v|

Resposta

a) lang<= Au,Avrang<= = lang<= u,vrang<=.
b) |Av| = |v|.

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