Mostre que o conjunto beta=v1=(1,2,1), v2=(2,1,-4), v3=(3,-2,1) é uma base ortogonal de R^3. Escreva o vetor w como combinação linear dos vetores de beta usando os coeficientes de Fourier, ai=W cdot vivi cdot vi de w em relação a vi.

Passo 1

O enunciado pede dois objetivos:
  1. Mostrar que
    beta=v1=(1,2,1),,v2=(2,1,-4),,v3=(3,-2,1)
    é uma base ortogonal de R^3.
  2. Escrever um vetor genérico winR^3 como combinação linear de beta usando os coeficientes de Fourier
ai = wcdotvivicdotvi,
Vamos precisar apenas de produto escalar e da propriedade de que três vetores ortogonais não nulos em R^3 formam uma base.

Passo 2

Verificamos a ortogonalidade calculando os produtos escalares entre os vetores distintos:
v1cdotv2 = 1cdot2 + 2cdot1 + 1cdot(-4) = 2 + 2 - 4 = 0,
v1cdotv3 = 1cdot3 + 2cdot(-2) + 1cdot1 = 3 - 4 + 1 = 0,
v2cdotv3 = 2cdot3 + 1cdot(-2) + (-4)cdot1 = 6 - 2 - 4 = 0
Cada vi é não nulo, logo são três vetores ortogonais não nulos em R^3, o que implica que beta é uma base ortogonal.

Passo 3

Para usar os coeficientes de Fourier, precisamos dos quadrados das normas:
v1cdotv1 = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 6,
v2cdotv2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 21,
v3cdotv3 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 14

Passo 4

Seja um vetor genérico w=(w1,w2,w3). Os coeficientes de Fourier são
a1 = wcdotv1v1cdotv1 = w1 + 2w2 + w36,
a2 = wcdotv2v2cdotv2 = 2w1 + w2 - 4w321,
a3 = wcdotv3v3cdotv3 = 3w1 -2w2 + w314

Passo 5

Finalmente, como beta é uma base ortogonal,
w = a1,v1 + a2,v2 + a3,v3

Resposta

boxed w = w1 + 2w2 + w36,(1,2,1) + 2w1 + w2 - 4w321,(2,1,-4) + 3w1 -2w2 + w314,(3,-2,1)

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