Mostre que o conjunto
é uma base ortogonal de
. Escreva o vetor
como combinação linear dos vetores de
usando os coeficientes de Fourier,
de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede dois objetivos:
- Mostrar que
é uma base ortogonal de. - Escrever um vetor genérico
como combinação linear de usando os coeficientes de Fourier
Vamos precisar apenas de produto escalar e da propriedade de que três vetores ortogonais não nulos em
formam uma base.
Passo 2
Verificamos a ortogonalidade calculando os produtos escalares entre os vetores distintos:
Cada
é não nulo, logo são três vetores ortogonais não nulos em
, o que implica que
é uma base ortogonal.
Passo 3
Para usar os coeficientes de Fourier, precisamos dos quadrados das normas:
Passo 4
Seja um vetor genérico
. Os coeficientes de Fourier são
Passo 5
Finalmente, como
é uma base ortogonal,