Sejam v e w vetores não colineares. O vetor projeção de v sobre w é projw v=(v cdot ww cdot w) w, cuja demonstração apresentada em sala foi através de uma construção ortogonal. Agora, apresente outra demonstração usando cos theta=v cdot w|v||w| onde theta é o ângulo entre os vetores v e w.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que
projwv=l(vcdotwwcdotwr)w
usando a definição
costheta=vcdotwlvertvrvertlvertwrvert,
onde theta é o ângulo entre v e w. Vamos precisar do conceito de versor (vetor unitário) e da interpretação geométrica do produto escalar.

Passo 2

Definimos o versor na direção de w como
u=wlvertwrvert,
ou seja, lverturvert=1. Geometricamente, projetar v sobre w é o mesmo que projetar v sobre u e depois voltar ao comprimento de w.

Passo 3

Pelo produto escalar com versor, temos
vcdotu =lvertvrvertlverturvertcostheta =lvertvrvertcostheta
Esse valor vcdotu é exatamente a medida (escala) da projeção de v na direção de u.

Passo 4

Portanto, a projeção de v sobre u é
(vcdotu),u =l(lvertvrvertcosthetar),u
Para voltar à direção de w, substituímos u=w/lvertwrvert:

Passo 5

Fazendo a substituição,
projwv =(lvertvrvertcostheta),wlvertwrvert =lvertvrvertcosthetalvertwrvert,w
Usando costheta=vcdotwlvertvrvertlvertwrvert, obtemos
lvertvrvert;l(vcdotwlvertvrvertlvertwrvertr)lvertwrvert,w =vcdotwlvertwrvert^2,w =l(vcdotwwcdotwr)w

Resposta

projwv =l(vcdotwwcdotwr)w

Exercícios relacionados