Sejam
e
vetores não colineares. O vetor projeção de
sobre
é
, cuja demonstração apresentada em sala foi através de uma construção ortogonal. Agora, apresente outra demonstração usando
onde
é o ângulo entre os vetores
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que
usando a definição
,
onde é o ângulo entre
e
. Vamos precisar do conceito de versor (vetor unitário) e da interpretação geométrica do produto escalar.
onde
Passo 2
Definimos o versor na direção de
como
ou seja,
. Geometricamente, projetar
sobre
é o mesmo que projetar
sobre
e depois voltar ao comprimento de
.
Passo 3
Pelo produto escalar com versor, temos
Esse valor
é exatamente a medida (escala) da projeção de
na direção de
.
Passo 4
Portanto, a projeção de
sobre
é
Para voltar à direção de
, substituímos
:
Passo 5
Fazendo a substituição,
Usando
, obtemos