Se T: V W é linear, dim V=5, dim(ker T)=2, qual é a dimensão da imagem de T ? Podemos determinar dim W ?

Passo 1

O enunciado diz que T:Vto W é uma transformação linear com dim V=5 e dim(ker T)=2. Queremos encontrar dim(imT) e verificar se é possível determinar dim W. O conteúdo envolvido é o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo-Imagem).

Passo 2

Pelo Teorema Núcleo–Imagem, para toda transformação linear T:Vto W vale
dim V ;=;dim(ker T);+;dim(imT)

Passo 3

Aplicando esse teorema com dim V=5 e dim(ker T)=2, temos
5 ;=;2 ;+;dim(imT),
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dim(imT)=5-2=3

Passo 4

A imagem de T é um subespaço de W, então sempre
dim W ;>=;dim(imT)=3
Porém, sem informação extra (por exemplo, se T é sobrejetora), não podemos fixar um valor para dim W.

Resposta

dim(imT)=3.
Não é possível determinar dim W além de saber que dim W>=3.

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