Determine se o vetor u=(1,2,3) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,0,0),(0,1,1),(1,1,1).

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o vetor u=(1,2,3) está no subespaço gerado pelos vetores (1,0,0),(0,1,1),(1,1,1). Isso envolve o conceito de combinação linear: queremos encontrar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha(1,0,0)+beta(0,1,1)+gamma(1,1,1)=(1,2,3)

Passo 2

Escrevendo explicitamente a combinação linear em forma de soma de vetores, temos
(alpha,0,0)+(0,beta,beta)+(gamma,gamma,gamma) =(alpha+gamma,;beta+gamma,;beta+gamma)
e queremos que isso seja igual a (1,2,3).

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
alpha+gamma = 1, beta+gamma = 2, beta+gamma = 3
As duas últimas equações dizem que beta+gamma é simultaneamente 2 e 3, o que é impossível.

Passo 4

Como o sistema é inconsistente, não existem escalares alpha,beta,gamma que façam a combinação linear resultar em u. Logo, u não pertence ao span dos três vetores.

Resposta

O vetor u=(1,2,3) não pode ser escrito como combinação linear de (1,0,0), (0,1,1) e (1,1,1).

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