Encontre a dimensão do espaço de R^4 definido pela solução da equação x1+x2+x3+x4=0.

Passo 1

O exercício pede a dimensão do subespaço de R^4 definido pela equação
,x1+x2+x3+x4=0.
Isso é um problema de espaço vetorial e vamos usar o Teorema do Posto–Nulidade para resolver.

Passo 2

Repare que impor x1+x2+x3+x4=0 é o mesmo que exigir que o vetor
(x1,x2,x3,x4) seja ortogonal a (1,1,1,1).
Em termos de aplicação linear, nosso subespaço é
ker f, onde
fcolonR^4toR é dada por
f(x1,x2,x3,x4) = x1+x2+x3+x4

Passo 3

A matriz associada a f é de tamanho 1times4, simplesmente
[,1;;1;;1;;1,].
Como essa linha não é nula, o posto de f é
posto(f) = 1
Pelo Teorema do Posto–Nulidade,
dimker f ;=; dimR^4 ;-;posto(f) ;=;4 - 1 = 3

Passo 4

Para ter mais intuição, podemos exibir uma base de ker f. Por exemplo, estes três vetores satisfazem a equação e são linearmente independentes, logo formam base:
v1=(-1,1,0,0), v2=(-1,0,1,0), v3=(-1,0,0,1)
Assim confirmamos que a dimensão do espaço solução é 3.

Resposta

A dimensão do subespaço (x1,x2,x3,x4)inR^4mid x1+x2+x3+x4=0 é 3.

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