Encontre a dimensão do espaço de
definido pela solução da equação
.
Passo 1
O exercício pede a dimensão do subespaço de
definido pela equação
.
Isso é um problema de espaço vetorial e vamos usar o Teorema do Posto–Nulidade para resolver.
Isso é um problema de espaço vetorial e vamos usar o Teorema do Posto–Nulidade para resolver.
Passo 2
Repare que impor
é o mesmo que exigir que o vetor
seja ortogonal a
.
Em termos de aplicação linear, nosso subespaço é
, onde
é dada por
Em termos de aplicação linear, nosso subespaço é
Passo 3
A matriz associada a
é de tamanho
, simplesmente
.
Como essa linha não é nula, o posto de é
Como essa linha não é nula, o posto de
Pelo Teorema do Posto–Nulidade,
Passo 4
Para ter mais intuição, podemos exibir uma base de
. Por exemplo, estes três vetores satisfazem a equação e são linearmente independentes, logo formam base:
Assim confirmamos que a dimensão do espaço solução é
.
Resposta
A dimensão do subespaço
é 3.