Nos exercícios 39 a 42, determine os autovalores e os autovetores da matriz A. A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}
e pede para determinar os autovalores e os autovetores de A.
Informações importantes que temos: os elementos de A são a_{11}=2, a_{12}=1, a_{21}=3, a_{22}=4.
O que é pedido, em termos práticos: encontrar todos os escalares \lambda e vetores não nulos \mathbf{v} tais que
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.]
Passo 2
O que significa achar autovalores e autovetores (uma pequena aula):
Um número \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo \mathbf{v} satisfazendo A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
Reescrevendo, isso é (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}, onde I é a matriz identidade. Para existir solução não trivial \mathbf{v}\neq\mathbf{0} é necessário e suficiente que \det(A-\lambda I)=0. Essa equação em \lambda é o polinômio característico de A.
Para uma matriz 2\times2, a determinante de \begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix} é ps-qr. Vou usar isso para montar e calcular o polinômio característico.
Passo 3
Formar a matriz A-\lambda I e o determinante característico:
As equações são equivalentes; da primeira vem y=-x. Logo os autovetores correspondentes a \lambda_2=1 são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Escolho como autovetor representante \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]
Passo 8
Observações finais (rápidas e úteis para a prova): autovalores aparecem como raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Para cada autovalor resolve-se um sistema homogêneo (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0} e toma-se qualquer vetor não nulo da solução como autovetor — eles são definidos até multiplicação por escalar. Aqui os dois autovetores escolhidos são linearmente independentes, o que é esperado para autovalores distintos.