Nos exercícios 27 a 30, obtenha a expressão da transformação linear T a partir de sua matriz canônica. [T]=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 1 & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: “obtenha a expressão da transformação linear T a partir de sua matriz canônica”. A informação dada é a matriz canônica de T:
Ou seja, a matriz é de tamanho 2\times3 (duas linhas, três colunas). O que precisamos devolver é a fórmula que descreve T agindo sobre um vetor genérico de \mathbb{R}^3, escrevendo o resultado em \mathbb{R}^2.]
Passo 2
Conceito essencial (explicação didática, passo a passo): a matriz canônica de uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 em relação às bases canônicas tem uma propriedade muito prática:
cada coluna da matriz é a imagem pelo operador T de um vetor da base canônica de \mathbb{R}^3.
Vou lembrar os vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
Isso é porque a multiplicação matricial pega exatamente essas combinações lineares das colunas.
Passo 3
Extraindo as colunas da matriz dada (cada coluna corresponde a uma imagem T(e_i)):
A primeira coluna é \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}, a segunda é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix} e a terceira é \begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}. Portanto,
Se fizer a multiplicação da matriz por (1,2,0)^\top obtém-se o mesmo resultado, confirmando que a expressão está correta. Força aí — você já consegue escrever a fórmula direto da matriz!