Nos exercícios 27 a 30, obtenha a expressão da transformação linear T a partir de sua matriz canônica.
[T]=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “obtenha a expressão da transformação linear T a partir de sua matriz canônica”. A informação dada é a matriz canônica de T:
[T]=\begin{pmatrix}2 & -1 & 1 \\[4pt] 3 & 1 & -2\end{pmatrix}.
Ou seja, a matriz é de tamanho 2\times3 (duas linhas, três colunas). O que precisamos devolver é a fórmula que descreve T agindo sobre um vetor genérico de \mathbb{R}^3, escrevendo o resultado em \mathbb{R}^2.]

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática, passo a passo): a matriz canônica de uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 em relação às bases canônicas tem uma propriedade muito prática:
  • cada coluna da matriz é a imagem pelo operador T de um vetor da base canônica de \mathbb{R}^3.
    Vou lembrar os vetores da base canônica de \mathbb{R}^3:
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
Então, se a matriz tem colunas c_1,c_2,c_3, vale
T(e_1)=c_1,\quad T(e_2)=c_2,\quad T(e_3)=c_3.
Isso é porque a multiplicação matricial pega exatamente essas combinações lineares das colunas.

Passo 3

Extraindo as colunas da matriz dada (cada coluna corresponde a uma imagem T(e_i)):
A primeira coluna é \begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix}, a segunda é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix} e a terceira é \begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}. Portanto,
T(e_1)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad T(e_2)=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad T(e_3)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Usando linearidade para obter a fórmula geral: sejam as coordenadas genéricas de um vetor em \mathbb{R}^3
x=(x_1,x_2,x_3)=x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3.
Pela linearidade de T,
T(x)=T(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3)=x_1 T(e_1) + x_2 T(e_2) + x_3 T(e_3).
Substituindo as imagens que encontramos nas colunas:
T(x)=x_1\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora combine componente a componente para escrever a expressão final. Para a primeira componente:
\text{1ª componente} = 2x_1 + (-1)x_2 + 1\cdot x_3 = 2x_1 - x_2 + x_3.ª
Para a segunda componente:
\text{2ª componente} = 3x_1 + 1\cdot x_2 + (-2)x_3 = 3x_1 + x_2 - 2x_3.ª
Portanto a transformação é explicitamente
T(x_1,x_2,x_3)=\bigl(2x_1 - x_2 + x_3,\; 3x_1 + x_2 - 2x_3\bigr).
Se preferir ver como multiplicação matricial, é exatamente o produto [T]\,(x_1,x_2,x_3)^\top.

Passo 6

Exemplo rápido para conferir (serve como checagem e para treinar): aplique T em v=(1,2,0).
T(1,2,0)=\bigl(2\cdot1 - 2 + 0,\; 3\cdot1 + 2 - 0\bigr)=(0,5).
Se fizer a multiplicação da matriz por (1,2,0)^\top obtém-se o mesmo resultado, confirmando que a expressão está correta. Força aí — você já consegue escrever a fórmula direto da matriz!

Resposta

T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x_1,x_2,x_3)=\bigl(2x_1 - x_2 + x_3,\;3x_1 + x_2 - 2x_3\bigr)

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