Nos exercícios 39 a 42, determine os autovalores e os autovetores da matriz
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para determinar os autovalores e os autovetores de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Os elementos da matriz
são , , , . - O que se pede: encontrar todos os valores
e vetores tais que .]
Passo 2
Lembrete prático (definição e procedimento):
- Um número
é autovalor de se existem vetores satisfazendo
- Isso é equivalente ao sistema
- Para existir solução não-nula, deve valer
que é a equação característica (um polinômio em
). Vamos calcular esse determinante para obter os autovalores.
Passo 3
Calcular a equação característica:
O determinante é
Vamos desenvolver passo a passo:
e adicionando o termo
(porque
) obtemos
Passo 4
Resolver a equação característica
.
Essa é uma quadrática simples; usamos fórmula ou fatoração. Tentando fatorar:
Essa é uma quadrática simples; usamos fórmula ou fatoração. Tentando fatorar:
Logo as raízes são
Portanto os autovalores de
são
e
.
Passo 5
Agora encontramos os autovetores associados a
. Resolvemos
ou seja
Escrevendo as equações:
As duas equações são equivalentes; da segunda vem
. Então os vetores solução são todos os múltiplos escalares de
Assim, os autovetores associados a
são
Passo 6
Agora os autovetores associados a
. Resolvemos
ou seja
As equações são
(duas idênticas). Dessa equação vem
. Portanto os vetores solução são todos os múltiplos de
Assim, os autovetores associados a
são
Passo 7
Cheque rápido (verificação): multiplicar
por um autovetor deve reproduzir
vezes esse vetor.
Para
e
:
Para
e
:
As igualdades conferem que os pares encontrados são realmente autovalor/autovetor.]