Nos exercícios 39 a 42, determine os autovalores e os autovetores da matriz A.
A=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -1 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] -1 & 5\end{pmatrix}
e pede para determinar os autovalores e os autovetores de A.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos da matriz A são a_{11}=1, a_{12}=3, a_{21}=-1, a_{22}=5.
  • O que se pede: encontrar todos os valores \lambda e vetores v\neq0 tais que A v=\lambda v.]

Passo 2

Lembrete prático (definição e procedimento):
  • Um número \lambda é autovalor de A se existem vetores v\neq0 satisfazendo
A v=\lambda v.
  • Isso é equivalente ao sistema
(A-\lambda I)v=0.
  • Para existir solução não-nula, deve valer
\det(A-\lambda I)=0,
que é a equação característica (um polinômio em \lambda). Vamos calcular esse determinante para obter os autovalores.

Passo 3

Calcular a equação característica:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 3 \\[4pt] -1 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(5-\lambda)- (3)(-1).
Vamos desenvolver passo a passo:
(1-\lambda)(5-\lambda)=1\cdot5 -1\cdot\lambda -\lambda\cdot5 +\lambda^2=\lambda^2-6\lambda+5,
e adicionando o termo 3 (porque -(3)(-1)=+3) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-6\lambda+5+3=\lambda^2-6\lambda+8.]

Passo 4

Resolver a equação característica \lambda^2-6\lambda+8=0.
Essa é uma quadrática simples; usamos fórmula ou fatoração. Tentando fatorar:
\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2).
Logo as raízes são
\lambda_1=4,\qquad \lambda_2=2.
Portanto os autovalores de A são \lambda=4 e \lambda=2.

Passo 5

Agora encontramos os autovetores associados a \lambda_1=4. Resolvemos
(A-4I)v=0,
ou seja
\begin{pmatrix}1-4 & 3 \\[4pt] -1 & 5-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-3 & 3 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0.
Escrevendo as equações:
-3x+3y=0,
- x + y =0.
As duas equações são equivalentes; da segunda vem y=x. Então os vetores solução são todos os múltiplos escalares de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Assim, os autovetores associados a \lambda=4 são
v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix},\qquad t\neq0.]

Passo 6

Agora os autovetores associados a \lambda_2=2. Resolvemos
(A-2I)v=0,
ou seja
\begin{pmatrix}1-2 & 3 \\[4pt] -1 & 5-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0.
As equações são
- x + 3y = 0,
- x + 3y = 0
(duas idênticas). Dessa equação vem x=3y. Portanto os vetores solução são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}3\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Assim, os autovetores associados a \lambda=2 são
v=t\begin{pmatrix}3\\[4pt] 1\end{pmatrix},\qquad t\neq0.]

Passo 7

Cheque rápido (verificação): multiplicar A por um autovetor deve reproduzir \lambda vezes esse vetor.
Para \lambda=4 e v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+3\cdot1\\[4pt]-1\cdot1+5\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda=2 e v=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}:
A\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot3+3\cdot1\\[4pt]-1\cdot3+5\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
As igualdades conferem que os pares encontrados são realmente autovalor/autovetor.]

Resposta

\lambda=4:\; v=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ t\neq0
\lambda=2:\; v=t\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix},\\ t\neq0]

Exercícios relacionados