Responda Verdadeiro ou Falso, DEMONSTRANDO as afirmativas verdadeiras, e JUSTIFICANDO adequadamente as falsas:
Seja
uma transformação linear. Se
e
for sobrejetiva então
.
Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é linear, tem
e é sobrejetiva. Vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem), que afirma que
Passo 2
Como
é sobrejetiva em
, sua imagem vale todo
. Logo
Passo 3
Aplicando o Teorema Núcleo–Imagem, obtemos
Portanto
, o que implica
.
Resposta
Verdadeiro.