Responda Verdadeiro ou Falso, DEMONSTRANDO as afirmativas verdadeiras, e JUSTIFICANDO adequadamente as falsas:
Seja T: R^n R^5 uma transformação linear. Se dim N(T)=2 e T for sobrejetiva então n >= 7.

Passo 1

O enunciado diz que T:R^ntoR^5 é linear, tem dimN(T)=2 e é sobrejetiva. Vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem), que afirma que
dimN(T)+dimIm(T)=dim(domínio)=n í

Passo 2

Como T é sobrejetiva em R^5, sua imagem vale todo R^5. Logo
dimIm(T)=dim(R^5)=5

Passo 3

Aplicando o Teorema Núcleo–Imagem, obtemos
dimN(T)+dimIm(T)=2+5=7=n
Portanto n=7, o que implica n>=7.

Resposta

Verdadeiro.

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