Determine o vetor , que satisfaça as seguintes condições:
i)
ii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um vetor que satisfaça duas condições:
O produto escalar entre e é igual a 6.
O produto vetorial entre e é igual a .
Pra resolver isso, vamos usar os conceitos de produto escalar e produto vetorial de vetores tridimensionais. Precisamos montar um sistema de equações com base nessas condições e resolver para os componentes de .
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o vetor de , onde , e são as componentes que queremos encontrar.
Então, .
Passo 3
Vamos usar a primeira condição: o produto escalar .
O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando:
Então, temos a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição: o produto vetorial .
Vamos calcular o produto vetorial passo a passo. Sabemos que:
Calculando o determinante:
v times (2 j + 3 k) = ( y cdot 3 - z cdot 2 ) i - ( x cdot 3 - z cdot 0 ) j + ( x cdot 2 - y cdot 0 ) k
Simplificando:
v times (2 j + 3 k) = (3y - 2z) i - (3x) j + (2x) k
De acordo com a condição, isso deve ser igual a 2 i. Então, igualamos as componentes:
3y - 2z = 2 (2)
-3x = 0 (3)
2x = 0 (4)
Passo 5
Vamos resolver as equações (3) e (4) primeiro:
Da equação (3):
-3x = 0 implies x = 0
Da equação (4):
2x = 0 implies x = 0
Portanto, x = 0.
Passo 6
Agora, com x = 0, vamos voltar para a equação (1):
3(0) + 2y = 6 implies 2y = 6 implies y = 3
Passo 7
Finalmente, usamos a equação (2) para encontrar z: