Determine o vetor v in R^3, que satisfaça as seguintes condições:
i) v cdot(3 i+2 j)=6
ii) v times(2 j+3 k)=2 i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar um vetor v in R^3 que satisfaça duas condições:
  1. O produto escalar entre v e (3 i + 2 j) é igual a 6.
  2. O produto vetorial entre v e (2 j + 3 k) é igual a 2 i.
Pra resolver isso, vamos usar os conceitos de produto escalar e produto vetorial de vetores tridimensionais. Precisamos montar um sistema de equações com base nessas condições e resolver para os componentes de v.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor v de (x, y, z), onde x, y e z são as componentes que queremos encontrar.
Então, v = x i + y j + z k.

Passo 3

Vamos usar a primeira condição: o produto escalar v cdot (3 i + 2 j) = 6.
O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes e somando:
v cdot (3 i + 2 j) = 3x + 2y = 6
Então, temos a primeira equação:
3x + 2y = 6 (1)

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição: o produto vetorial v times (2 j + 3 k) = 2 i.
Vamos calcular o produto vetorial passo a passo. Sabemos que:
v times w = i & j & k x & y & z 0 & 2 & 3
Calculando o determinante:
v times (2 j + 3 k) = ( y cdot 3 - z cdot 2 ) i - ( x cdot 3 - z cdot 0 ) j + ( x cdot 2 - y cdot 0 ) k
Simplificando:
v times (2 j + 3 k) = (3y - 2z) i - (3x) j + (2x) k
De acordo com a condição, isso deve ser igual a 2 i. Então, igualamos as componentes:
3y - 2z = 2 (2)
-3x = 0 (3)
2x = 0 (4)

Passo 5

Vamos resolver as equações (3) e (4) primeiro:
Da equação (3):
-3x = 0 implies x = 0
Da equação (4):
2x = 0 implies x = 0
Portanto, x = 0.

Passo 6

Agora, com x = 0, vamos voltar para a equação (1):
3(0) + 2y = 6 implies 2y = 6 implies y = 3

Passo 7

Finalmente, usamos a equação (2) para encontrar z:
3y - 2z = 2 implies 3(3) - 2z = 2 implies 9 - 2z = 2 implies -2z = -7 implies z = 72

Resposta

O vetor v que satisfaz as condições é:
v = 0 i + 3 j + 72 k
Ou simplesmente:
v = (0, , 3, , 3.5)

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