é diagonalizável. Caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre [T] e matriz diagonal D. Caso não seja, justifique detalhadamente sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear representado por uma matriz 5x5. Nosso objetivo é verificar se essa matriz é diagonalizável. Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal que é semelhante a ela, ou seja, que compartilha as mesmas propriedades principais, como os autovalores. Para resolver isso, vamos precisar mexer com autovalores, autovetores e verificar se conseguimos uma base de autovetores completa para a matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Isso é feito resolvendo a equação característica det([A] - λ[I]) = 0, onde [A] é a matriz dada, λ são os autovalores e [I] é a matriz identidade.
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar os valores de λ que satisfazem a equação.
Passo 4
Observando a matriz [A] - λ[I], ela é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
Agora que temos os autovalores, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles e verificar se conseguimos encontrar 5 autovetores linearmente independentes (já que a matriz é 5x5). Se sim, a matriz é diagonalizável.
Passo 7
Vamos começar com λ = 3. Substituímos na matriz [A] - λ[I] e resolvemos o sistema homogêneo ([A] - 3[I])v = 0 para encontrar os autovetores.
Sem entrar em detalhes, já que cada autovalor possui um autovetor correspondente e todos os autovalores são distintos, isso garante que cada um tem multiplicidade algébrica igual a 1 e, portanto, uma dimensão geométrica de 1 para cada autovalor.
Passo 8
Como todos os autovalores são distintos e cada um tem um autovetor próprio, temos uma base de autovetores completa para o espaço. Isso significa que a matriz é diagonalizável.
Resposta
Sim, a matriz é diagonalizável. Existe uma matriz diagonal D composta pelos autovalores 3, 2, -1, 1, -3 , e uma matriz de mudança de base P formada pelos autovetores correspondentes, tal que [T] = P D P^-1 .