Verifique o operador linear que tem como matriz
[ccccc 3 & 0 & 0 & 0 & 0 -2 & 2 & 0 & 0 & 0 1 & -3 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & 3 & 1 & 0 -2 & -1 & 1 & 2 & -3 ]
é diagonalizável. Caso seja, descreva detalhadamente a relação de semelhança entre [T] e matriz diagonal D. Caso não seja, justifique detalhadamente sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear representado por uma matriz 5x5. Nosso objetivo é verificar se essa matriz é diagonalizável. Diagonalizar uma matriz significa encontrar uma matriz diagonal que é semelhante a ela, ou seja, que compartilha as mesmas propriedades principais, como os autovalores. Para resolver isso, vamos precisar mexer com autovalores, autovetores e verificar se conseguimos uma base de autovetores completa para a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Isso é feito resolvendo a equação característica det([A] - λ[I]) = 0, onde [A] é a matriz dada, λ são os autovalores e [I] é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz [A] - λ[I]:
[ccccc 3-lambda & 0 & 0 & 0 & 0 -2 & 2-lambda & 0 & 0 & 0 1 & -3 & -1-lambda & 0 & 0 -1 & 2 & 3 & 1-lambda & 0 -2 & -1 & 1 & 2 & -3-lambda ]
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar os valores de λ que satisfazem a equação.

Passo 4

Observando a matriz [A] - λ[I], ela é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
det([A] - lambda[I]) = (3-lambda)(2-lambda)(-1-lambda)(1-lambda)(-3-lambda)

Passo 5

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(3-lambda)(2-lambda)(-1-lambda)(1-lambda)(-3-lambda) = 0
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 3, lambda2 = 2, lambda3 = -1, lambda4 = 1, lambda5 = -3

Passo 6

Agora que temos os autovalores, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles e verificar se conseguimos encontrar 5 autovetores linearmente independentes (já que a matriz é 5x5). Se sim, a matriz é diagonalizável.

Passo 7

Vamos começar com λ = 3. Substituímos na matriz [A] - λ[I] e resolvemos o sistema homogêneo ([A] - 3[I])v = 0 para encontrar os autovetores.
Sem entrar em detalhes, já que cada autovalor possui um autovetor correspondente e todos os autovalores são distintos, isso garante que cada um tem multiplicidade algébrica igual a 1 e, portanto, uma dimensão geométrica de 1 para cada autovalor.

Passo 8

Como todos os autovalores são distintos e cada um tem um autovetor próprio, temos uma base de autovetores completa para o espaço. Isso significa que a matriz é diagonalizável.

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável. Existe uma matriz diagonal D composta pelos autovalores 3, 2, -1, 1, -3 , e uma matriz de mudança de base P formada pelos autovetores correspondentes, tal que [T] = P D P^-1 .

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