Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Todo operador ortonormal só pode ter como autovalores -1 e 1.

Passo 1

O enunciado afirma que “todo operador ortonormal só pode ter como autovalores -1 e 1”. Aqui trabalhamos em um espaço vetorial com produto interno, e um operador linear U é ortonormal (ou unitário no caso complexo, ortogonal no caso real) se
U^*,U = I
Vamos usar propriedades de operadores unitários para ver quais valores próprios ( lambda) eles podem ter.

Passo 2

Suponha que U seja ortonormal e que exista um vetor próprio não nulo v tal que
U v = lambda,v
Como U preserva normas, temos
|v| = |U v| = |lambda,v| = |lambda|,|v|
Como vneq0, segue que
|lambda| = 1
Logo, todo autovalor de U deve satisfazer |lambda|=1.

Passo 3

A condição |lambda|=1 não reduz os autovalores apenas a lambda=1 ou lambda=-1: ela permite qualquer número complexo na circunferência de raio 1, isto é, lambda=e^itheta para algum theta. Portanto, a afirmação de que só pm1 ocorrem como autovalores é falsa.

Passo 4

Como contra-exemplo, considere em R^2 a rotação de 90^circ dada por
R(x,y) = (-y,,x)
Verifique-se que R preserva o produto interno usual, logo é ortogonal. Seu polinômio característico é
detl(R - lambda Ir) = det-lambda & -1[6pt]1 & -lambda = lambda^2 + 1,
cuja raiz são lambda = i e lambda = -,i. Esses valores têm módulo 1, mas não são nem 1 nem -1.]

Resposta

A afirmativa é falsa. O operador de rotação em R^2 por 90^circ é ortonormal e tem autovalores i e -i, contrariando a afirmação.

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