Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Todo operador ortonormal só pode ter como autovalores -1 e 1.
Todo operador ortonormal só pode ter como autovalores -1 e 1.
Passo 1
O enunciado afirma que “todo operador ortonormal só pode ter como autovalores
e
”. Aqui trabalhamos em um espaço vetorial com produto interno, e um operador linear
é ortonormal (ou unitário no caso complexo, ortogonal no caso real) se
Vamos usar propriedades de operadores unitários para ver quais valores próprios (
) eles podem ter.
Passo 2
Suponha que
seja ortonormal e que exista um vetor próprio não nulo
tal que
Como
preserva normas, temos
Como
, segue que
Logo, todo autovalor de
deve satisfazer
.
Passo 3
A condição
não reduz os autovalores apenas a
ou
: ela permite qualquer número complexo na circunferência de raio
, isto é,
para algum
. Portanto, a afirmação de que só
ocorrem como autovalores é falsa.
Passo 4
Como contra-exemplo, considere em
a rotação de
dada por
Verifique-se que
preserva o produto interno usual, logo é ortogonal. Seu polinômio característico é
cuja raiz são
e
. Esses valores têm módulo
, mas não são nem
nem
.]
Resposta
A afirmativa é falsa. O operador de rotação em
por
é ortonormal e tem autovalores
e
, contrariando a afirmação.