Sejam e , calcule o volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as arestas determinadas por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: , e . O objetivo é calcular o volume do paralelepípedo formado por esses vetores, com um vértice na origem. Para isso, vamos precisar usar o produto misto dos vetores, que envolve determinar o determinante de uma matriz formada por eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como encontrar o volume de um paralelepípedo usando o produto misto. O volume é dado por:
Aqui, representa o produto vetorial entre e , e depois fazemos o produto escalar desse resultado com . O valor absoluto garante que o volume seja sempre positivo.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Considerando os vetores:
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
w times u = i(5 cdot 4 - 0 cdot 3) - j(2 cdot 4 - 0 cdot 3) + k(2 cdot 3 - 5 cdot 3)
Simplificando:
w times u = 20i - 8j - 9k
Passo 4
Agora, vamos realizar o produto escalar entre v e w times u:
v cdot (w times u) = (4i) cdot (20i - 8j - 9k)
Lembrando que o produto escalar entre i, j e k dá 1 se forem os mesmos e 0 se forem diferentes. Então:
v cdot (w times u) = 4 cdot 20 + 0 cdot (-8) + 0 cdot (-9) = 80
Passo 5
Finalmente, aplicamos o valor absoluto para encontrar o volume: