Sejam v=4 i, w=2 i+5 j e u=3 i+3 j+4 k, calcule o volume do paralelepípedo com um vértice na origem e as arestas determinadas por v, w e u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: v = 4 i, w = 2 i + 5 j e u = 3 i + 3 j + 4 k. O objetivo é calcular o volume do paralelepípedo formado por esses vetores, com um vértice na origem. Para isso, vamos precisar usar o produto misto dos vetores, que envolve determinar o determinante de uma matriz formada por eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar o volume de um paralelepípedo usando o produto misto. O volume V é dado por:
V = |v cdot (w times u)|
Aqui, w times u representa o produto vetorial entre w e u, e depois fazemos o produto escalar desse resultado com v. O valor absoluto garante que o volume seja sempre positivo.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial w times u. Considerando os vetores:
w = 2i + 5j + 0k u = 3i + 3j + 4k
O produto vetorial é dado por:
w times u = i & j & k 2 & 5 & 0 3 & 3 & 4
Calculando o determinante:
w times u = i(5 cdot 4 - 0 cdot 3) - j(2 cdot 4 - 0 cdot 3) + k(2 cdot 3 - 5 cdot 3)
Simplificando:
w times u = 20i - 8j - 9k

Passo 4

Agora, vamos realizar o produto escalar entre v e w times u:
v cdot (w times u) = (4i) cdot (20i - 8j - 9k)
Lembrando que o produto escalar entre i, j e k dá 1 se forem os mesmos e 0 se forem diferentes. Então:
v cdot (w times u) = 4 cdot 20 + 0 cdot (-8) + 0 cdot (-9) = 80

Passo 5

Finalmente, aplicamos o valor absoluto para encontrar o volume:
V = |80| = 80

Resposta

O volume do paralelepípedo é 80 unidades cúbicas.

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