Faça o que se pede:
Sabendo que T(1,0,0)=(1,2,3), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,0,1)=(0,-2,0), obtenha T(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a transformação linear T(x, y, z) sabendo que:
  • T(1,0,0) = (1,2,3)
  • T(0,1,0) = (1,0,-1)
  • T(0,0,1) = (0,-2,0)
Aqui, estamos lidando com transformação linear de R^3 para R^3 . Vamos precisar usar a propriedade de linearidade, que permite expressar T(x, y, z) como combinação linear das transformações das bases canônicas.

Passo 2

Primeiro, lembra que qualquer vetor (x, y, z) em R^3 pode ser escrito como uma combinação das bases canônicas:
(x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)

Passo 3

Como T é linear, podemos aplicar a transformação a cada parte separadamente e depois somar os resultados:
T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1)

Passo 4

Agora, substituímos pelos valores dados na questão:
T(x, y, z) = x cdot (1,2,3) + y cdot (1,0,-1) + z cdot (0,-2,0)

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação scalar (multiplicar cada componente do vetor pela constante):
x cdot (1,2,3) = (x, 2x, 3x)
y cdot (1,0,-1) = (y, 0, -y)
z cdot (0,-2,0) = (0, -2z, 0)

Passo 6

Agora, somamos esses vetores componente a componente:
(x, 2x, 3x) + (y, 0, -y) + (0, -2z, 0) = (x + y + 0, 2x + 0 - 2z, 3x - y + 0)

Passo 7

Simplificando as somas:
T(x, y, z) = (x + y, 2x - 2z, 3x - y)

Resposta

A transformação linear é:
T(x, y, z) = (x + y, 2x - 2z, 3x - y)

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