2- Determine o vetor solução do sistema linear abaixo através do método de eliminação de JORDAN e classifique-o.
Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4}=6,90 \\\\ -x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+x_{4}=-6,60 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10,20 \\\\ 4 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}=-12,30\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor solução do sistema linear pelo método de eliminação de Jordan (Gauss–Jordan) e classificar o sistema. O sistema fornecido (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado) é
\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}-x_{4}=6,90,\\[4pt] - x_{1}+x_{2}-4x_{3}+x_{4}=-6,60,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10,20,\\[4pt] 4x_{1}-5x_{2}+x_{3}-2x_{4}=-12,30. \end{cases}
Informações relevantes extraídas:
  • Matriz de coeficientes e vetor dos termos independentes estão exatamente como acima.
  • Pedem especificamente o uso da eliminação de Jordan e que todos os cálculos sejam feitos com 4 casas decimais.
  • Ao final é preciso indicar a classificação do sistema (por exemplo: compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).]

Passo 2

Breve explicação do método (aula rápida e prática):
  • Objetivo do método de Gauss–Jordan: transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (RREF), onde a matriz de coeficientes fica igual à identidade \,I. Assim os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} aparecem diretamente.
  • Operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto solução):
    1. trocar duas linhas: R_i\leftrightarrow R_j.
    2. multiplicar uma linha por escalares não nulos: R_i\leftarrow \alpha R_i, \alpha\neq 0.
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i\leftarrow R_i+\beta R_j.
  • Estratégia: escolher pivôs (preferencialmente 1), zerar todos os elementos acima e abaixo do pivô para obter RREF.
  • Vou realizar cada operação mostrando claramente a linha usada e os resultados, arredondando todos os números a 4 casas decimais.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada inicial (cada número com 4 casas decimais):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2{,}0000 & 3{,}0000 & 1{,}0000 & -1{,}0000 & 6{,}9000\\[4pt] -1{,}0000 & 1{,}0000 & -4{,}0000 & 1{,}0000 & -6{,}6000\\[4pt] 1{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000 & 10{,}2000\\[4pt] 4{,}0000 & -5{,}0000 & 1{,}0000 & -2{,}0000 & -12{,}3000 \end{array}\right]
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 3 (para ter um pivô unitário na primeira linha):
R_{1}\leftrightarrow R_{3}. Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000 & 10{,}2000\\[4pt] -1{,}0000 & 1{,}0000 & -4{,}0000 & 1{,}0000 & -6{,}6000\\[4pt] 2{,}0000 & 3{,}0000 & 1{,}0000 & -1{,}0000 & 6{,}9000\\[4pt] 4{,}0000 & -5{,}0000 & 1{,}0000 & -2{,}0000 & -12{,}3000 \end{array}\right]]

Passo 4

Zerar os elementos da coluna 1 nas linhas 2,3,4 usando a primeira linha:
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}.
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}.
  • R_{4}\leftarrow R_{4}-4R_{1}.
Cálculos (arredondando a 4 casas):
  • R_{2}=(-1+1,\;1+1,\;-4+1,\;1+1,\;-6{,}6000+10{,}2000)=(0{,}0000,\;2{,}0000,\;-3{,}0000,\;2{,}0000,\;3{,}6000).
  • R_{3}=(2-2,\;3-2,\;1-2,\;-1-2,\;6{,}9000-20{,}4000)=(0{,}0000,\;1{,}0000,\;-1{,}0000,\;-3{,}0000,\;-13{,}5000).
  • R_{4}=(4-4,\;-5-4,\;1-4,\;-2-4,\;-12{,}3000-40{,}8000)=(0{,}0000,\;-9{,}0000,\;-3{,}0000,\;-6{,}0000,\;-53{,}1000).
Matriz obtida:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000 & 10{,}2000\\[4pt] 0{,}0000 & 2{,}0000 & -3{,}0000 & 2{,}0000 & 3{,}6000\\[4pt] 0{,}0000 & 1{,}0000 & -1{,}0000 & -3{,}0000 & -13{,}5000\\[4pt] 0{,}0000 & -9{,}0000 & -3{,}0000 & -6{,}0000 & -53{,}1000 \end{array}\right]]

Passo 5

Escolho como próximo pivô o elemento 1 que já está na coluna 2 da linha 3; para colocá‑lo como pivô na linha 2 faço a troca R_{2}\leftrightarrow R_{3}. Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000 & 10{,}2000\\[4pt] 0{,}0000 & 1{,}0000 & -1{,}0000 & -3{,}0000 & -13{,}5000\\[4pt] 0{,}0000 & 2{,}0000 & -3{,}0000 & 2{,}0000 & 3{,}6000\\[4pt] 0{,}0000 & -9{,}0000 & -3{,}0000 & -6{,}0000 & -53{,}1000 \end{array}\right]]

Passo 6

Zerar os elementos da coluna 2 nas demais linhas usando o pivô 1 em R_{2}:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}.
  • R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{2}.
  • R_{4}\leftarrow R_{4}+9R_{2}.
Cálculos:
  • R_{1}=(1,\;1-1,\;1-(-1),\;1-(-3),\;10{,}2000-(-13{,}5000))=(1{,}0000,\;0{,}0000,\;2{,}0000,\;4{,}0000,\;23{,}7000).
  • R_{3}=(0,\;2-2,\;-3-2(-1),\;2-2(-3),\;3{,}6000-2(-13{,}5000))=(0{,}0000,\;0{,}0000,\;-1{,}0000,\;8{,}0000,\;30{,}6000).
  • R_{4}=(0,\;-9+9,\;-3+9(-1),\;-6+9(-3),\;-53{,}1000+9(-13{,}5000))=(0{,}0000,\;0{,}0000,\;-12{,}0000,\;-33{,}0000,\;-174{,}6000).
Matriz intermediária:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 0{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}0000 & 23{,}7000\\[4pt] 0{,}0000 & 1{,}0000 & -1{,}0000 & -3{,}0000 & -13{,}5000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & -1{,}0000 & 8{,}0000 & 30{,}6000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & -12{,}0000 & -33{,}0000 & -174{,}6000 \end{array}\right]]

Passo 7

O pivô na coluna 3 está em R_{3} e vale -1{,}0000. Para facilitar, multiplico R_{3} por -1 para obter pivô +1:
R_{3}\leftarrow -1\cdot R_{3}. Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 0{,}0000 & 2{,}0000 & 4{,}0000 & 23{,}7000\\[4pt] 0{,}0000 & 1{,}0000 & -1{,}0000 & -3{,}0000 & -13{,}5000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 1{,}0000 & -8{,}0000 & -30{,}6000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & -12{,}0000 & -33{,}0000 & -174{,}6000 \end{array}\right]]

Passo 8

Zerar a coluna 3 nas linhas 1,2,4 usando o pivô em R_{3}:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-2R_{3}.
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{3}.
  • R_{4}\leftarrow R_{4}+12R_{3}.
Cálculos:
  • R_{1}= (1,\;0,\;2-2(1),\;4-2(-8),\;23{,}7000-2(-30{,}6000))
    = (1{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;20{,}0000,\;84{,}9000).
  • R_{2}= (0,\;1,\;-1+1,\;-3+(-8),\;-13{,}5000+(-30{,}6000))
    = (0{,}0000,\;1{,}0000,\;0{,}0000,\;-11{,}0000,\;-44{,}1000).
  • R_{4}= (0,\;0,\;-12+12(1),\;-33+12(-8),\;-174{,}6000+12(-30{,}6000))
    = (0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;-129{,}0000,\;-541{,}8000).
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 20{,}0000 & 84{,}9000\\[4pt] 0{,}0000 & 1{,}0000 & 0{,}0000 & -11{,}0000 & -44{,}1000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 1{,}0000 & -8{,}0000 & -30{,}6000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & -129{,}0000 & -541{,}8000 \end{array}\right]]

Passo 9

Pivô final na coluna 4 (linha 4) vale -129{,}0000. Divido R_{4} por -129{,}0000 para obter 1:
R_{4}\leftarrow \frac{1}{-129{,}0000}R_{4}.
Cálculo do termo independente: -541{,}8000/(-129{,}0000)=4{,}2000 (exatamente). Logo
R_{4}=(0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;1{,}0000,\;4{,}2000).

Passo 10

Zerar a coluna 4 nas linhas 1,2,3 usando R_{4}:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-20R_{4}.
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+11R_{4}.
  • R_{3}\leftarrow R_{3}+8R_{4}.
Cálculos:
  • R_{1}: (1,\;0,\;0,\;20-20(1),\;84{,}9000-20(4{,}2000))=(1{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}9000).
  • R_{2}: (0,\;1,\;0,\;-11+11(1),\;-44{,}1000+11(4{,}2000))=(0{,}0000,\;1{,}0000,\;0{,}0000,\;0{,}0000,\;2{,}1000).
  • R_{3}: (0,\;0,\;1,\;-8+8(1),\;-30{,}6000+8(4{,}2000))=(0{,}0000,\;0{,}0000,\;1{,}0000,\;0{,}0000,\;3{,}0000).
Agora a matriz está na forma reduzida por linhas (RREF):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}9000\\[4pt] 0{,}0000 & 1{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 2{,}1000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 1{,}0000 & 0{,}0000 & 3{,}0000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000 & 1{,}0000 & 4{,}2000 \end{array}\right]]

Passo 11

Leitura direta da RREF: os pivôs correspondem a x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. Assim
x_{1}=0{,}9000,\qquad x_{2}=2{,}1000,\qquad x_{3}=3{,}0000,\qquad x_{4}=4{,}2000.
Como a matriz de coeficientes foi reduzida à identidade, existe exatamente uma solução — o sistema é compatível determinado (única solução). Parabéns: chegamos à solução sem usar substituição manual no final porque o Gauss–Jordan já fornece os valores imediatamente.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}0{,}9000\\[4pt]2{,}1000\\[4pt]3{,}0000\\[4pt]4{,}2000\end{pmatrix}
Sistema compatível determinado (única solução).]

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