2- Determine o vetor solução do sistema linear abaixo através do método de eliminação de JORDAN e classifique-o.
Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais. \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4}=6,90 \\\\ -x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+x_{4}=-6,60 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10,20 \\\\ 4 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}=-12,30\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o vetor solução do sistema linear pelo método de eliminação de Jordan (Gauss–Jordan) e classificar o sistema. O sistema fornecido (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado) é
Matriz de coeficientes e vetor dos termos independentes estão exatamente como acima.
Pedem especificamente o uso da eliminação de Jordan e que todos os cálculos sejam feitos com 4 casas decimais.
Ao final é preciso indicar a classificação do sistema (por exemplo: compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).]
Passo 2
Breve explicação do método (aula rápida e prática):
Objetivo do método de Gauss–Jordan: transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (RREF), onde a matriz de coeficientes fica igual à identidade \,I. Assim os valores de x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} aparecem diretamente.
Operações elementares permitidas (que não mudam o conjunto solução):
trocar duas linhas: R_i\leftrightarrow R_j.
multiplicar uma linha por escalares não nulos: R_i\leftarrow \alpha R_i, \alpha\neq 0.
somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i\leftarrow R_i+\beta R_j.
Estratégia: escolher pivôs (preferencialmente 1), zerar todos os elementos acima e abaixo do pivô para obter RREF.
Vou realizar cada operação mostrando claramente a linha usada e os resultados, arredondando todos os números a 4 casas decimais.
Passo 3
Escrever a matriz aumentada inicial (cada número com 4 casas decimais):
Escolho como próximo pivô o elemento 1 que já está na coluna 2 da linha 3; para colocá‑lo como pivô na linha 2 faço a troca R_{2}\leftrightarrow R_{3}. Resultado:
O pivô na coluna 3 está em R_{3} e vale -1{,}0000. Para facilitar, multiplico R_{3} por -1 para obter pivô +1: R_{3}\leftarrow -1\cdot R_{3}. Resultado:
Como a matriz de coeficientes foi reduzida à identidade, existe exatamente uma solução — o sistema é compatível determinado (única solução). Parabéns: chegamos à solução sem usar substituição manual no final porque o Gauss–Jordan já fornece os valores imediatamente.