Expandir f(x)=\operatorname{sen}(x), em Série de Taylor, considerando 10 termos, em torno do ponto x_{0}=0 e determinar o erro percentual na tabela abaixo:
x
f(x)
F(x)
\varepsilon(\%)
-\pi / 2
-\pi / 4
x_{0}=0
\pi / 4
\pi / 2
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
Pede: expandir f(x)=\operatorname{sen}(x) em Série de Taylor (Maclaurin) em torno de x_0=0, considerando 10 termos, e preencher a tabela com f(x), F(x) (a soma truncada com 10 termos) e o erro percentual \varepsilon(\%) nos pontos:
x=-\pi/2
x=-\pi/4
x_0=0
x=\pi/4
x=\pi/2
Informações úteis do enunciado:
A função é f(x)=\operatorname{sen}(x).
O ponto de expansão é x_0=0.
“Considerando 10 termos” significa tomar os primeiros 10 termos não nulos da série de Taylor (os termos ímpares de ordem 1,3,5,\dots,19), ou seja os índices k=0,1,\dots,9 na forma padrão abaixo.
Precisamos também fornecer o erro percentual entre o valor exato f(x) e a soma truncada F(x).
Passo 2
Derivação didática da série de Taylor (Maclaurin) para \operatorname{sen}(x).
Regra geral: a série de Taylor de uma função f em torno de x_0 é
Cada termo é explicado: o k-ésimo termo não nulo é (-1)^k (sinal alternado), potência x^{2k+1} (apenas ímpares) e divisão por (2k+1)! (fatorial da ordem).
Passo 3
Definição da soma truncada com 10 termos (o F(x) pedido) e interpretação de “10 termos”.
Como foi pedido “considerando 10 termos”, tomamos os primeiros 10 termos não nulos, isto é k=0,1,\dots,9. Definimos
Caso especial f(x)=0: o erro percentual relativo não está definido (divisão por zero). Nesses casos:
Se F(x)=f(x)=0, tomamos \varepsilon(\%)=0\% (aproximação exata).
Se F(x)\neq f(x)=0, o erro relativo é indefinido; normalmente reporta-se erro absoluto. No nosso problema, para x_0=0 teremos F(0)=0 exatamente, então \varepsilon(\%)=0\%.
Passo 5
Estimativa do resto (erro de truncamento) para justificar os zeros/pequeníssimos erros numéricos.
Forma de Lagrange do resto da série de Taylor (quando se truncam até a ordem n): para f=\operatorname{sen}, truncando todos os termos até potência x^{19} (ou seja, até ordem n=19), o resto R_{19}(x) satisfaz, para algum \xi entre 0 e x,
R_{19}(x)=\frac{f^{(21)}(\xi)}{21!}x^{21}.
Para \operatorname{sen} temos |f^{(21)}(\xi)|\le 1 (pois derivadas de seno/cosseno têm módulo \le 1). Logo, em valor absoluto,
|R_{19}(x)|\le\frac{|x|^{21}}{21!}.
Essa desigualdade nos dá um limite superior simples para o erro absoluto da soma truncada com 10 termos.
Vamos usar esse limite para estimar o erro absoluto e, a partir dele, o erro percentual (quando f(x)\neq0). Para referência numérica, o valor de 21! é
Substituindo x=0 na soma truncada F:F(0)=\sum_{k=0}^{9}(-1)^k\frac{0^{2k+1}}{(2k+1)!}=0.
Valor exato:f(0)=\operatorname{sen}(0)=0.
Como F(0)=f(0), temos \varepsilon(\%)=0\%.
Passo 7
Cálculo para x=\pi/4.
Valor exato:f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071067811865475244.
Estimativa do resto: usando a desigualdade do Passo 5,|R_{19}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)|\le\frac{\left(\tfrac{\pi}{4}\right)^{21}}{21!}.Avaliando numericamente (aproximações intermédias):\left(\tfrac{\pi}{4}\right)^{21}\approx 0{,}006270\quad\text{e}\quad 21!\approx 5{,}109\times10^{19},então|R_{19}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)|\lesssim 1{,}23\times10^{-22}.
Assim o erro absoluto é menor que 1{,}23\times10^{-22}. O erro relativo (dividindo por \approx0{,}7071) e convertendo para percentual dá\varepsilon(\%)\lesssim 1{,}8\times10^{-20}\%.
Portanto a soma truncada F\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) coincide com f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) até aproximadamente 20 casas decimais; a notação prática para F éF\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\approx 0{,}7071067811865475244,com erro percentual menor que 1{,}8\times10^{-20}\%.
Passo 8
Cálculo para x=\pi/2.
Valor exato:f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
Estimativa do resto:|R_{19}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)|\le\frac{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{21}}{21!}.Numéricamente temos \left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{21}\approx 1{,}305\times10^{4} e 21!\approx 5{,}109\times10^{19}, logo|R_{19}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)|\lesssim 2{,}56\times10^{-16}.
Como o valor exato f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, o erro percentual é aproximadamente\varepsilon(\%)\lesssim 2{,}56\times10^{-14}\%.
Portanto a soma truncada dáF\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\approx 1.0000000000000000com erro percentual menor que 2{,}6\times10^{-14}\%.
Passo 9
Linhas para x=-\pi/4 e x=-\pi/2 usando a paridade ímpar.
Como F e \operatorname{sen} são ímpares,F(-x)=-F(x),\qquad \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x).