Expandir f(x)=\operatorname{sen}(x), em Série de Taylor, considerando 10 termos, em torno do ponto x_{0}=0 e determinar o erro percentual na tabela abaixo:
x f(x) F(x) \varepsilon(\%)
-\pi / 2
-\pi / 4
x_{0}=0
\pi / 4
\pi / 2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede: expandir f(x)=\operatorname{sen}(x) em Série de Taylor (Maclaurin) em torno de x_0=0, considerando 10 termos, e preencher a tabela com f(x), F(x) (a soma truncada com 10 termos) e o erro percentual \varepsilon(\%) nos pontos:
    • x=-\pi/2
    • x=-\pi/4
    • x_0=0
    • x=\pi/4
    • x=\pi/2
  • Informações úteis do enunciado:
    • A função é f(x)=\operatorname{sen}(x).
    • O ponto de expansão é x_0=0.
    • “Considerando 10 termos” significa tomar os primeiros 10 termos não nulos da série de Taylor (os termos ímpares de ordem 1,3,5,\dots,19), ou seja os índices k=0,1,\dots,9 na forma padrão abaixo.
    • Precisamos também fornecer o erro percentual entre o valor exato f(x) e a soma truncada F(x).

Passo 2

Derivação didática da série de Taylor (Maclaurin) para \operatorname{sen}(x).
  • Regra geral: a série de Taylor de uma função f em torno de x_0 é
    f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}.
    No caso x_0=0 isso chama-se série de Maclaurin:
    f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
  • Para f(x)=\operatorname{sen}(x) calcule as derivadas em 0. As derivadas repetidas de \operatorname{sen} seguem o ciclo:
    \operatorname{sen}(x),\\ \cos(x),\\\ -\operatorname{sen}(x),\\\ -\cos(x),\\ \operatorname{sen}(x),\ldots
    Avaliando em x=0:
    f(0)=0,\quad f'(0)=1,\quad f''(0)=0,\quad f^{(3)}(0)=-1,\quad f^{(4)}(0)=0,\\ \ldots
    Assim os coeficientes não nulos aparecem apenas para potências ímpares.
  • Daí a forma conhecida:
    \operatorname{sen}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
    Cada termo é explicado: o k-ésimo termo não nulo é (-1)^k (sinal alternado), potência x^{2k+1} (apenas ímpares) e divisão por (2k+1)! (fatorial da ordem).

Passo 3

Definição da soma truncada com 10 termos (o F(x) pedido) e interpretação de “10 termos”.
  • Como foi pedido “considerando 10 termos”, tomamos os primeiros 10 termos não nulos, isto é k=0,1,\dots,9. Definimos
    F(x)=\sum_{k=0}^{9}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
    Esse polinômio tem grau 19 (último termo proporcional a x^{19}).
  • Observação útil (que facilita cálculos): \operatorname{sen}(x) é função ímpar, e a série truncada F(x) também é ímpar. Assim
    F(-x)=-F(x),\qquad \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x).
    Portanto os valores para x=-\pi/2 e x=-\pi/4 são apenas o negativo dos correspondentes em +\pi/2 e +\pi/4.

Passo 4

Como medir erro percentual e tratamento do caso f(x)=0.
  • Definição usual do erro percentual:
    \varepsilon(\%)=\left|\frac{F(x)-f(x)}{f(x)}\right|\times 100\%.
    Essa fórmula funciona quando f(x)\neq 0.
  • Caso especial f(x)=0: o erro percentual relativo não está definido (divisão por zero). Nesses casos:
    • Se F(x)=f(x)=0, tomamos \varepsilon(\%)=0\% (aproximação exata).
    • Se F(x)\neq f(x)=0, o erro relativo é indefinido; normalmente reporta-se erro absoluto. No nosso problema, para x_0=0 teremos F(0)=0 exatamente, então \varepsilon(\%)=0\%.

Passo 5

Estimativa do resto (erro de truncamento) para justificar os zeros/pequeníssimos erros numéricos.
  • Forma de Lagrange do resto da série de Taylor (quando se truncam até a ordem n): para f=\operatorname{sen}, truncando todos os termos até potência x^{19} (ou seja, até ordem n=19), o resto R_{19}(x) satisfaz, para algum \xi entre 0 e x,
    R_{19}(x)=\frac{f^{(21)}(\xi)}{21!}x^{21}.
    Para \operatorname{sen} temos |f^{(21)}(\xi)|\le 1 (pois derivadas de seno/cosseno têm módulo \le 1). Logo, em valor absoluto,
    |R_{19}(x)|\le\frac{|x|^{21}}{21!}.
    Essa desigualdade nos dá um limite superior simples para o erro absoluto da soma truncada com 10 termos.
  • Vamos usar esse limite para estimar o erro absoluto e, a partir dele, o erro percentual (quando f(x)\neq0). Para referência numérica, o valor de 21! é
    21! = 51090942171709440000\approx 5{,}109094217\times10^{19}.

Passo 6

Cálculo de F(0) e erro em x_0=0.
  • Substituindo x=0 na soma truncada F: F(0)=\sum_{k=0}^{9}(-1)^k\frac{0^{2k+1}}{(2k+1)!}=0.
  • Valor exato: f(0)=\operatorname{sen}(0)=0.
  • Como F(0)=f(0), temos \varepsilon(\%)=0\%.

Passo 7

Cálculo para x=\pi/4.
  • Valor exato: f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071067811865475244.
  • Estimativa do resto: usando a desigualdade do Passo 5, |R_{19}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)|\le\frac{\left(\tfrac{\pi}{4}\right)^{21}}{21!}.Avaliando numericamente (aproximações intermédias): \left(\tfrac{\pi}{4}\right)^{21}\approx 0{,}006270\quad\text{e}\quad 21!\approx 5{,}109\times10^{19},então |R_{19}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)|\lesssim 1{,}23\times10^{-22}.
  • Assim o erro absoluto é menor que 1{,}23\times10^{-22}. O erro relativo (dividindo por \approx0{,}7071) e convertendo para percentual dá \varepsilon(\%)\lesssim 1{,}8\times10^{-20}\%.
  • Portanto a soma truncada F\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) coincide com f\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) até aproximadamente 20 casas decimais; a notação prática para F é F\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\approx 0{,}7071067811865475244,com erro percentual menor que 1{,}8\times10^{-20}\%.

Passo 8

Cálculo para x=\pi/2.
  • Valor exato: f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • Estimativa do resto: |R_{19}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)|\le\frac{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{21}}{21!}.Numéricamente temos \left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{21}\approx 1{,}305\times10^{4} e 21!\approx 5{,}109\times10^{19}, logo |R_{19}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)|\lesssim 2{,}56\times10^{-16}.
  • Como o valor exato f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, o erro percentual é aproximadamente \varepsilon(\%)\lesssim 2{,}56\times10^{-14}\%.
  • Portanto a soma truncada dá F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\approx 1.0000000000000000com erro percentual menor que 2{,}6\times10^{-14}\%.

Passo 9

Linhas para x=-\pi/4 e x=-\pi/2 usando a paridade ímpar.
  • Como F e \operatorname{sen} são ímpares, F(-x)=-F(x),\qquad \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x).
  • Logo:
    • f\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071067811865475244, F\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right)\approx -0{,}7071067811865475244, \varepsilon(\%)\lesssim 1{,}8\times10^{-20}\%.
    • f\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1, F\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)\approx -1.0000000000000000, \varepsilon(\%)\lesssim 2{,}6\times10^{-14}\%.

Resposta

x=-\dfrac{\pi}{2}:\quad f(x)=-1,\quad F(x)\approx -1.0000000000000000,\quad \varepsilon(\%)\lesssim 2{,}6\times10^{-14}\%
x=-\dfrac{\pi}{4}:\quad f(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071067811865475244,\quad F(x)\approx -0{,}7071067811865475244,\quad \varepsilon(\%)\lesssim 1{,}8\times10^{-20}\%
x_{0}=0:\quad f(x)=0,\quad F(x)=0,\quad \varepsilon(\%)=0\%
x=\dfrac{\pi}{4}:\quad f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071067811865475244,\quad F(x)\approx 0{,}7071067811865475244,\quad \varepsilon(\%)\lesssim 1{,}8\times10^{-20}\%
x=\dfrac{\pi}{2}:\quad f(x)=1,\quad F(x)\approx 1.0000000000000000,\quad \varepsilon(\%)\lesssim 2{,}6\times10^{-14}\%

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