Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss, classifique-os e calcule o determinante de cada um deles.
Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=10 \\\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5 \\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear (peguei todas as equações do enunciado) e pede três coisas: encontrar o vetor solução pelo método de eliminação de Gauss, classificar o sistema e calcular o determinante da matriz dos coeficientes. As equações são:
\begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=10,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=5,\\[4pt] x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3. \end{cases}
O que vou entregar: (1) eliminação de Gauss passo a passo com todos os cálculos com quatro casas decimais; (2) classificação do sistema; (3) determinante da matriz dos coeficientes com quatro casas decimais.]

Passo 2

Escrevo a matriz aumentada inicial e explico a ideia: transformar em forma triangular por operações elementares sobre linhas (multiplicar uma linha por escalar, somar múltiplo de uma linha em outra). Toda operação será indicada e os resultados exibidos com quatro casas decimais.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 3 & 2 & 1 & 10\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]
Pivô na linha 1: [a_{11}=4). Vou zerar as entradas abaixo dele usando multiplicadores m_{21}=\dfrac{1}{4}, m_{31}=\dfrac{1}{4}, m_{41}=\dfrac{1}{4}. Em decimal com quatro casas: m_{21}=m_{31}=m_{41}=0,2500.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 0,2500\,R_1:
R_2: \begin{cases} 1-0,2500\cdot4 = 0,0000,\\[2pt] 2-0,2500\cdot3 = 1,2500,\\[2pt] 3-0,2500\cdot2 = 2,5000,\\[2pt] 4-0,2500\cdot1 = 3,7500,\\[2pt] 5-0,2500\cdot10 = 2,5000. \end{cases}
Faço (R_3 \leftarrow R_3 - 0,2500,R_1]:
R_3: \begin{cases} 1-0,2500\cdot4 = 0,0000,\\[2pt] -1-0,2500\cdot3 = -1,7500,\\[2pt] -1-0,2500\cdot2 = -1,5000,\\[2pt] -1-0,2500\cdot1 = -1,2500,\\[2pt] -1-0,2500\cdot10 = -3,5000. \end{cases}
Faço R_4 \leftarrow R_4 - 0,2500\,R_1:
R_4: \begin{cases} 1-0,2500\cdot4 = 0,0000,\\[2pt] 1-0,2500\cdot3 = 0,2500,\\[2pt] 1-0,2500\cdot2 = 0,5000,\\[2pt] 1-0,2500\cdot1 = 0,7500,\\[2pt] 3-0,2500\cdot10 = 0,5000. \end{cases}
Matriz após estas operações:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4,0000 & 3,0000 & 2,0000 & 1,0000 & 10,0000\\[4pt] 0,0000 & 1,2500 & 2,5000 & 3,7500 & 2,5000\\[4pt] 0,0000 & -1,7500 & -1,5000 & -1,2500 & -3,5000\\[4pt] 0,0000 & 0,2500 & 0,5000 & 0,7500 & 0,5000 \end{array}\right]]

Passo 3

Agora pivô na linha 2: a_{22}=1,2500 (não é zero). Vou zerar abaixo usando multiplicadores
m_{32}=\dfrac{-1,7500}{1,2500}=-1,4000,\qquad m_{42}=\dfrac{0,2500}{1,2500}=0,2000.
Faço R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}\,R_2 = R_3 -(-1,4000)R_2 = R_3 + 1,4000 R_2.
Calculemos termo a termo (com quatro casas):
\begin{array}{l} \text{coluna 2: } -1,7500 + 1,4000\cdot1,2500 = -1,7500 + 1,7500 = 0,0000,\\[3pt] \text{coluna 3: } -1,5000 + 1,4000\cdot2,5000 = -1,5000 + 3,5000 = 2,0000,\\[3pt] \text{coluna 4: } -1,2500 + 1,4000\cdot3,7500 = -1,2500 + 5,2500 = 4,0000,\\[3pt] \text{rhs: } -3,5000 + 1,4000\cdot2,5000 = -3,5000 + 3,5000 = 0,0000. \end{array}
Assim R_3 nova é [0,0000\;\;0,0000\;\;2,0000\;\;4,0000\;|\;0,0000].
Faço R_4 \leftarrow R_4 - m_{42}\,R_2 = R_4 - 0,2000 R_2.
Calculemos:
\begin{array}{l} \text{coluna 2: } 0,2500 - 0,2000\cdot1,2500 = 0,2500 - 0,2500 = 0,0000,\\[3pt] \text{coluna 3: } 0,5000 - 0,2000\cdot2,5000 = 0,5000 - 0,5000 = 0,0000,\\[3pt] \text{coluna 4: } 0,7500 - 0,2000\cdot3,7500 = 0,7500 - 0,7500 = 0,0000,\\[3pt] \text{rhs: } 0,5000 - 0,2000\cdot2,5000 = 0,5000 - 0,5000 = 0,0000. \end{array}
Então R_4 nova é a linha nula [0,0000\;\;0,0000\;\;0,0000\;\;0,0000\;|\;0,0000].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{cccc|c} 4,0000 & 3,0000 & 2,0000 & 1,0000 & 10,0000\\[4pt] 0,0000 & 1,2500 & 2,5000 & 3,7500 & 2,5000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 2,0000 & 4,0000 & 0,0000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 \end{array}\right]]

Passo 4

Pivô na linha 3: a_{33}=2,0000. Não há linhas abaixo com entradas não nulas, então a eliminação direta terminou. Observação importante: a última linha ficou toda nula e o termo independentes correspondente também é 0,0000, ou seja, não apareceu uma linha do tipo 0= \text{não zero}ã. Portanto o sistema é compatível. Como há uma linha toda nula, o posto da matriz de coeficientes (rank) é 3, menor que o número de incógnitas 4. Conclusão: o sistema é compatível indeterminado — tem infinitas soluções (um parâmetro livre).

Passo 5

Faço agora a substituição regressiva para expressar as incógnitas em função de uma variável livre. As equações triangulares resultantes (da matriz final) são:
Da linha 3:
2,0000\,x_{3} + 4,0000\,x_{4} = 0,0000.
Dividindo por 2,0000:
x_{3} + 2,0000\,x_{4} = 0,0000 \quad\Rightarrow\quad x_{3} = -2,0000\,x_{4}.
Da linha 2:
1,2500\,x_{2} + 2,5000\,x_{3} + 3,7500\,x_{4} = 2,5000.
Substituindo x_{3} = -2,0000\,x_{4}:
1,2500\,x_{2} + 2,5000(-2,0000\,x_{4}) + 3,7500\,x_{4} = 2,5000.
Compute os termos em x_{4}: 2,5000\cdot(-2,0000) = -5,0000. Então -5,0000\,x_{4}+3,7500\,x_{4} = -1,2500\,x_{4}. Assim
1,2500\,x_{2} -1,2500\,x_{4} = 2,5000.
Dividindo por 1,2500:
x_{2} - x_{4} = 2,0000 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = 2,0000 + x_{4}.
Da linha 1:
4,0000\,x_{1} + 3,0000\,x_{2} + 2,0000\,x_{3} + 1,0000\,x_{4} = 10,0000.
Substituo x_{2}=2,0000 + x_{4} e x_{3}=-2,0000 x_{4}. Calcule os coeficientes:
3,0000x_{2} = 3,0000(2,0000 + x_{4}) = 6,0000 + 3,0000x_{4},
2,0000x_{3} = 2,0000(-2,0000x_{4}) = -4,0000x_{4}.
Somando 3,0000x_{2}+2,0000x_{3}+1,0000x_{4} obtemos:
6,0000 + (3,0000x_{4} -4,0000x_{4} + 1,0000x_{4}) = 6,0000 + 0,0000x_{4} = 6,0000.
Logo a equação 1 vira
4,0000\,x_{1} + 6,0000 = 10,0000 \quad\Rightarrow\quad 4,0000\,x_{1} = 4,0000 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = 1,0000.
Portanto x_{1} é fixo e x_{4} é livre. Escolho parámetro \,t\in\mathbb{R} tal que x_{4}=t. Então:
\begin{cases} x_{1} = 1,0000,\\[4pt] x_{2} = 2,0000 + t,\\[4pt] x_{3} = -2,0000\,t,\\[4pt] x_{4} = t. \end{cases}
Escrevendo em forma vetorial (com quatro casas decimais):
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}1,0000\\[4pt]2,0000\\[4pt]0,0000\\[4pt]0,0000\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0,0000\\[4pt]1,0000\\[4pt]-2,0000\\[4pt]1,0000\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Cálculo do determinante da matriz dos coeficientes A. Observação teórica rápida: se durante a eliminação de Gauss não houve permuta de linhas, o determinante de A é o produto dos elementos da diagonal da matriz triangular superior obtida (produtório dos pivôs). Na nossa eliminação não realizamos trocas de linhas, portanto:
\det(A)=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}.
Da matriz triangular obtida os pivôs foram a_{11}=4,0000, a_{22}=1,2500, a_{33}=2,0000 e a_{44}=0,0000 (última linha toda nula implica pivô zero). Logo
\det(A)=4,0000\cdot 1,2500\cdot 2,0000\cdot 0,0000 = 0,0000.
O valor com quatro casas decimais é \det(A)=0,0000. Comentário: determinante zero confirma que a matriz é singular; portanto o sistema não pode ter solução única — ou é incompatível ou tem infinitas soluções; como vimos, é compatível indeterminado (infinitas soluções).

Resposta

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1,0000\\[4pt]2,0000\\[4pt]0,0000\\[4pt]0,0000\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0,0000\\[4pt]1,0000\\[4pt]-2,0000\\[4pt]1,0000\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
\det(A)=0,0000]

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