Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss, classifique-os e calcule o determinante de cada um deles.
Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais. \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=10 \\\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5 \\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear (peguei todas as equações do enunciado) e pede três coisas: encontrar o vetor solução pelo método de eliminação de Gauss, classificar o sistema e calcular o determinante da matriz dos coeficientes. As equações são:
O que vou entregar: (1) eliminação de Gauss passo a passo com todos os cálculos com quatro casas decimais; (2) classificação do sistema; (3) determinante da matriz dos coeficientes com quatro casas decimais.]
Passo 2
Escrevo a matriz aumentada inicial e explico a ideia: transformar em forma triangular por operações elementares sobre linhas (multiplicar uma linha por escalar, somar múltiplo de uma linha em outra). Toda operação será indicada e os resultados exibidos com quatro casas decimais.
Pivô na linha 1: [a_{11}=4). Vou zerar as entradas abaixo dele usando multiplicadores m_{21}=\dfrac{1}{4}, m_{31}=\dfrac{1}{4}, m_{41}=\dfrac{1}{4}. Em decimal com quatro casas: m_{21}=m_{31}=m_{41}=0,2500.
Pivô na linha 3: a_{33}=2,0000. Não há linhas abaixo com entradas não nulas, então a eliminação direta terminou. Observação importante: a última linha ficou toda nula e o termo independentes correspondente também é 0,0000, ou seja, não apareceu uma linha do tipo 0= \text{não zero}ã. Portanto o sistema é compatível. Como há uma linha toda nula, o posto da matriz de coeficientes (rank) é 3, menor que o número de incógnitas 4. Conclusão: o sistema é compatível indeterminado — tem infinitas soluções (um parâmetro livre).
Passo 5
Faço agora a substituição regressiva para expressar as incógnitas em função de uma variável livre. As equações triangulares resultantes (da matriz final) são:
Cálculo do determinante da matriz dos coeficientes A. Observação teórica rápida: se durante a eliminação de Gauss não houve permuta de linhas, o determinante de A é o produto dos elementos da diagonal da matriz triangular superior obtida (produtório dos pivôs). Na nossa eliminação não realizamos trocas de linhas, portanto:
Da matriz triangular obtida os pivôs foram a_{11}=4,0000, a_{22}=1,2500, a_{33}=2,0000 e a_{44}=0,0000 (última linha toda nula implica pivô zero). Logo
O valor com quatro casas decimais é \det(A)=0,0000. Comentário: determinante zero confirma que a matriz é singular; portanto o sistema não pode ter solução única — ou é incompatível ou tem infinitas soluções; como vimos, é compatível indeterminado (infinitas soluções).