2- Determine o vetor solução do sistema linear abaixo através do método de eliminação de JORDAN e classifique-o.

Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4}=6,90 \\\\ -x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+x_{4}=-6,60 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10,20 \\\\ 4 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}=-12,30 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar o vetor solução do sistema linear dado usando o método de eliminação de Jordan (Gauss–Jordan) e (ii) classificá-lo (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).
As equações fornecidas são:
\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}-x_{4}=6,90,\\[4pt] - x_{1}+x_{2}-4x_{3}+x_{4}=-6,60,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=10,20,\\[4pt] 4x_{1}-5x_{2}+x_{3}-2x_{4}=-12,30. \end{cases}
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Há 4 incógnitas: x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Devemos usar eliminação de Jordan (Gauss–Jordan): transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (escala de linha para obter pivôs 1 e zerar acima e abaixo dos pivôs).
  • Todos os cálculos devem ser feitos com 4 casas decimais. Vou apresentar os números arredondados a 4 casas decimais em cada matriz intermediária.]

Passo 2

Primeiro passo prático: montar a matriz aumentada do sistema. Colocando as colunas das incógnitas e a coluna de termos independentes:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 2,0000 & 3,0000 & 1,0000 & -1,0000 & 6,9000\\[4pt] -1,0000 & 1,0000 & -4,0000 & 1,0000 & -6,6000\\[4pt] 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 10,2000\\[4pt] 4,0000 & -5,0000 & 1,0000 & -2,0000 & -12,3000 \end{array}\right]
Breve teoria (o que faremos): no Gauss–Jordan usamos operações elementares de linha: (1) trocar duas linhas; (2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (3) adicionar a uma linha um múltiplo de outra. O objetivo é obter a matriz identidade à esquerda e o vetor solução à direita.]

Passo 3

É conveniente começar com um pivô igual a 1. Troco a linha 1 pela linha 3 (pois a linha 3 tem 1 na primeira coluna). Operação: R_1 \leftrightarrow R_3. Matriz resultante (com 4 casas decimais):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 10,2000\\[4pt] -1,0000 & 1,0000 & -4,0000 & 1,0000 & -6,6000\\[4pt] 2,0000 & 3,0000 & 1,0000 & -1,0000 & 6,9000\\[4pt] 4,0000 & -5,0000 & 1,0000 & -2,0000 & -12,3000 \end{array}\right]]

Passo 4

Zerar as entradas da coluna 1 nas linhas 2,3,4 usando R_1.
  • R_2 := R_2 + R_1.
  • R_3 := R_3 - 2R_1.
  • R_4 := R_4 - 4R_1.
Calculemos cada nova linha e apresente o resultado arredondado a 4 casas decimais:
  • Nova R_2: [0,\,2,\, -3,\,2 \mid 3,6000].
  • Nova R_3: [0,\,1,\, -1,\, -3 \mid -13,5000].
  • Nova R_4: [0,\,-9,\, -3,\, -6 \mid -53,1000].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 10,2000\\[4pt] 0,0000 & 2,0000 & -3,0000 & 2,0000 & 3,6000\\[4pt] 0,0000 & 1,0000 & -1,0000 & -3,0000 & -13,5000\\[4pt] 0,0000 & -9,0000 & -3,0000 & -6,0000 & -53,1000 \end{array}\right]
Explicação didática: agora a primeira coluna já tem pivô 1 na linha 1 e zeros abaixo; seguimos para a segunda coluna para obter o segundo pivô.]

Passo 5

Normalizar a linha 2 para obter pivô 1 na segunda coluna: R_2 := \dfrac{1}{2}R_2.
Calculando e arredondando:
R_2 = [0,\,1,\, -1,5000,\,1,0000 \mid 1,8000].
Matriz atual:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 10,2000\\[4pt] 0,0000 & 1,0000 & -1,5000 & 1,0000 & 1,8000\\[4pt] 0,0000 & 1,0000 & -1,0000 & -3,0000 & -13,5000\\[4pt] 0,0000 & -9,0000 & -3,0000 & -6,0000 & -53,1000 \end{array}\right]
Breve teoria: ao ter um pivô igual a 1 na segunda linha, podemos zerar a segunda coluna nas outras linhas somando múltiplos apropriados dessa linha.]

Passo 6

Zerar as outras entradas da coluna 2 usando o novo R_2:
  • R_1 := R_1 - R_2.
  • R_3 := R_3 - R_2.
  • R_4 := R_4 + 9R_2.
Calculando cada linha e arredondando:
  • Nova R_1: [1,\,0,\,2,5000,\,0 \mid 8,4000] porque 1-(-1,5)=2,5 e 10,2-1,8=8,4.
  • Nova R_3: [0,\,0,\,0,5000,\,-4,0000 \mid -15,3000] porque -1 -(-1,5)=0,5 e -13,5-1,8=-15,3.
  • Nova R_4: [0,\,0,\,-16,5000,\,3,0000 \mid -36,9000] porque -3 + 9(-1,5) = -3 -13,5 = -16,5 e -53,1 + 9(1,8) = -53,1 +16,2 = -36,9.
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1,0000 & 0,0000 & 2,5000 & 0,0000 & 8,4000\\[4pt] 0,0000 & 1,0000 & -1,5000 & 1,0000 & 1,8000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 0,5000 & -4,0000 & -15,3000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & -16,5000 & 3,0000 & -36,9000 \end{array}\right]
Comentário: observe que na terceira coluna temos agora um candidato a pivô na linha 3 (valor 0,5000).]

Passo 7

Normalizar a linha 3 para tornar o pivô igual a 1: R_3 := \dfrac{1}{0,5}R_3 = 2\cdot R_3.
Cálculo:
R_3 = [0,0000,\,0,0000,\,1,0000,\, -8,0000 \mid -30,6000].
Matriz:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1,0000 & 0,0000 & 2,5000 & 0,0000 & 8,4000\\[4pt] 0,0000 & 1,0000 & -1,5000 & 1,0000 & 1,8000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 1,0000 & -8,0000 & -30,6000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & -16,5000 & 3,0000 & -36,9000 \end{array}\right]
Didática: agora usamos R_3 para zerar todas as outras entradas na terceira coluna.]

Passo 8

Zerar a terceira coluna nas linhas 1,2,4 usando R_3:
  • R_1 := R_1 - 2,5R_3.
  • R_2 := R_2 + 1,5R_3.
  • R_4 := R_4 + 16,5R_3.
Cálculos (arredondados a 4 casas):
  • Nova R_1: terceira coluna fica zero; quarta: 0 - 2{,}5(-8) = 20{,}0000; termo independente: 8{,}4 - 2{,}5(-30{,}6) = 8{,}4 + 76{,}5 = 84{,}9000. Assim R_1 = [1,0000,\,0,0000,\,0,0000,\,20,0000 \mid 84,9000].
  • Nova R_2: quarta: 1 + 1{,}5(-8) = 1 -12 = -11{,}0000; termo independente: 1{,}8 + 1{,}5(-30{,}6) = 1{,}8 -45{,}9 = -44{,}1000. Assim R_2 = [0,0000,\,1,0000,\,0,0000,\,-11,0000 \mid -44,1000].
  • Nova R_4: quarta: 3 + 16{,}5(-8) = 3 -132 = -129{,}0000; termo independente: -36{,}9 + 16{,}5(-30{,}6) = -36{,}9 -504{,}9 = -541{,}8000. Assim R_4 = [0,0000,\,0,0000,\,0,0000,\,-129,0000 \mid -541,8000].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 20,0000 & 84,9000\\[4pt] 0,0000 & 1,0000 & 0,0000 & -11,0000 & -44,1000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 1,0000 & -8,0000 & -30,6000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & -129,0000 & -541,8000 \end{array}\right]
Observação: resta agora a quarta coluna; a linha 4 tem coeficiente -129,0000 nesse pivô.]

Passo 9

Normalizar a linha 4 para obter pivô 1 na quarta coluna: R_4 := \dfrac{1}{-129}R_4.
Cálculo do termo independente: -541{,}8000/(-129{,}0000) = 4{,}2000. Logo:
R_4 = [0,0000,\,0,0000,\,0,0000,\,1,0000 \mid 4,2000].
Matriz:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 20,0000 & 84,9000\\[4pt] 0,0000 & 1,0000 & 0,0000 & -11,0000 & -44,1000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 1,0000 & -8,0000 & -30,6000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 1,0000 & 4,2000 \end{array}\right]
Didática: com pivô 1 em R_4 podemos zerar todas as outras entradas da coluna 4, obtendo a forma reduzida por linhas (matriz identidade à esquerda).]

Passo 10

Zerar a quarta coluna nas linhas 1,2,3 usando R_4:
  • R_1 := R_1 - 20R_4.
  • R_2 := R_2 + 11R_4.
  • R_3 := R_3 + 8R_4.
Cálculos (com 4 casas decimais):
  • Nova R_1: termo independente 84{,}9000 - 20(4{,}2000) = 84{,}9000 - 84{,}0000 = 0{,}9000. Assim R_1 = [1,0000,\,0,0000,\,0,0000,\,0,0000 \mid 0,9000].
  • Nova R_2: termo independente -44{,}1000 + 11(4{,}2000) = -44{,}1000 + 46{,}2000 = 2{,}1000. Assim R_2 = [0,0000,\,1,0000,\,0,0000,\,0,0000 \mid 2,1000].
  • Nova R_3: termo independente -30{,}6000 + 8(4{,}2000) = -30{,}6000 + 33{,}6000 = 3{,}0000. Assim R_3 = [0,0000,\,0,0000,\,1,0000,\,0,0000 \mid 3,0000].
Matriz completamente reduzida:
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,9000\\[4pt] 0,0000 & 1,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 2,1000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 1,0000 & 0,0000 & 3,0000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 1,0000 & 4,2000 \end{array}\right]]

Passo 11

Interpretação final: a matriz reduzida corresponde à solução direta das incógnitas:
\begin{aligned} x_{1} &= 0,9000,\\[4pt] x_{2} &= 2,1000,\\[4pt] x_{3} &= 3,0000,\\[4pt] x_{4} &= 4,2000. \end{aligned}
Classificação do sistema: obtivemos pivôs em todas as 4 colunas de incógnitas (matriz identidade), sem linha contraditória (do tipo 0= c com c\neq 0). Portanto o sistema é compatível determinado (tem uma única solução).]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0,9000\\[4pt]2,1000\\[4pt]3,0000\\[4pt]4,2000\end{pmatrix}
Sistema compatível determinado (única solução).]

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