A resistência R (em \Omega ) de um circuito satisfaz a equação transcendental
R e^{R / 5}=100
(a) Mostre que existe uma raiz positiva e localize-a por inspeção gráfica.
(b) Aplique o método de Newton com x_{0}=5 para determinar R com \varepsilon=10^{-6}.

Passo 1

O enunciado dá a equação transcendental
R e^{R/5}=100,
onde R é a resistência em \Omega. Há duas tarefas:
(a) mostrar que existe uma raiz positiva e localizá-la por inspeção gráfica (ou por avaliações que simulam a inspeção do gráfico);
(b) aplicar o método de Newton com x_{0}=5 para determinar R com tolerância \varepsilon=10^{-6}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é R e procuramos R>0.
  • A equação pode ser reescrita como função raiz de
f(R)=R e^{R/5}-100,
logo as raízes de f são as soluções procuradas.
  • Para (b) o ponto inicial é x_{0}=5 e a tolerância de parada é \varepsilon=10^{-6}.

Passo 2

(a) Mostrar existência e localizar por inspeção gráfica (interpretação por avaliações).
Defina f(R)=R e^{R/5}-100. Primeiro observação de continuidade: a função R\mapsto R e^{R/5} é contínua para todo R, logo f é contínua em \mathbb{R}. Para localizar uma raiz por inspeção gráfica, avalia-se f em alguns pontos positivos até detectar mudança de sinal (isso equivale a olhar o gráfico e ver onde cruza o eixo R).
Calcule f em alguns pontos:
f(0)=0\cdot e^{0}-100=-100<0.
f(10)=10 e^{2}-100 \approx 10\cdot 7{,}389056-100\approx 73{,}89056-100\approx -26{,}10944<0.
f(11)=11 e^{11/5}-100=11 e^{2{,}2}-100\approx 11\cdot 9{,}025013-100\approx 99{,}27514-100\approx -0{,}72486<0.
f(11{,}1)=11{,}1 e^{11{,}1/5}-100=11{,}1 e^{2{,}22}-100\approx 11{,}1\cdot 9{,}20721-100\approx 102{,}199-100\approx 2{,}199>0.
Como f é contínua e f(11)<0 enquanto f(11{,}1)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (11,11{,}1). Isto corresponde à localização gráfica: o gráfico de y=f(R) cruza o eixo R entre R=11 e R=11{,}1.
Adicionalmente, calcule a derivada para ver unicidade e comportamento:
f'(R)=\frac{d}{dR}\bigl(R e^{R/5}\bigr)=e^{R/5}\!\left(1+\frac{R}{5}\right).
Para R\ge 0 temos e^{R/5}>0 e 1+\dfrac{R}{5}>0, logo f'(R)>0 para todo R\ge0. Assim f é estritamente crescente em [0,\infty). Conclusão: existe exatamente uma raiz positiva e ela está no intervalo (11,11{,}1).

Passo 3

(b) Método de Newton — princípio e fórmula.
O método de Newton para achar raiz de f(x)=0 usa a iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui
f(x)=x e^{x/5}-100,\qquad f'(x)=e^{x/5}\!\left(1+\frac{x}{5}\right).
Interpretação rápida e intuição: em cada iteração aproximamos a curva y=f(x) por sua reta tangente em x_n e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação x_{n+1}. Como f é suave e a raiz é simples (pela monotonicidade f'\ne0 na vizinhança), Newton costuma convergir rapidamente se o chute inicial não for muito ruim. Temos x_0=5 dado; vamos iterar até |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon=10^{-6}.

Passo 4

Preparação das fórmulas usadas em cada iteração:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n e^{x_n/5}-100}{e^{x_n/5}\left(1+\dfrac{x_n}{5}\right)} =\;x_n-\frac{x_n-\;100 e^{-x_n/5}}{1+\dfrac{x_n}{5}}.
(essa forma alternativa pode ajudar a organizar cálculos, mas nas contas abaixo usarei a forma direta com f e f'.)
Agora efetuamos as iterações numéricas. Em cada linha dou x_n, f(x_n), f'(x_n), \Delta_n=\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} e x_{n+1}=x_n-\Delta_n. Aproximações mostradas com várias casas decimais; o critério de parada é |x_{n+1}-x_n|<10^{-6}.

Passo 5

Iteração 0 → 1:
x_0=5,
f(5)=5e^{1}-100\approx 5\cdot 2{,}71828183-100\approx -86{,}40859086,
f'(5)=e^{1}\left(1+\frac{5}{5}\right)=2e\approx 5{,}43656366,
\Delta_0=\frac{f(5)}{f'(5)}\approx -15{,}90216824, \qquad x_1=5-(-15{,}90216824)\approx 20{,}90216824.

Passo 6

Iteração 1 → 2:
x_1\approx 20{,}90216824,\qquad \frac{x_1}{5}\approx 4{,}18043365,
e^{x_1/5}\approx 65{,}384\\ (\text{aprox.}),\qquad f(x_1)=x_1 e^{x_1/5}-100\approx 1{,}266{,}569{,}\
(na prática o valor é grande e positivo),
f'(x_1)\approx 65{,}384\cdot\bigl(1+4{,}18043365\bigr)\approx 338{,}628,
\Delta_1\approx \frac{1{,}266{,}569}{338{,}628}\approx 3{,}742, \qquad x_2\approx 20{,}90216824-3{,}742\approx 17{,}160.
(Observação: nesta iteração f era grande e positiva, por isso a correção é significativa — isso é normal: o chute inicial x_0=5 estava longe da raiz.)

Passo 7

Iteração 2 → 3:
x_2\approx 17{,}160,\qquad \frac{x_2}{5}\approx 3{,}432,
e^{x_2/5}\approx 30{,}93,\qquad f(x_2)\approx 431{,}0,
f'(x_2)\approx 30{,}93\cdot(1+3{,}432)\approx 137{,}2,
\Delta_2\approx \frac{431{,}0}{137{,}2}\approx 3{,}144,\qquad x_3\approx 17{,}160-3{,}144\approx 14{,}016.

Passo 8

Iteração 3 → 4:
x_3\approx 14{,}016,\qquad \frac{x_3}{5}\approx 2{,}8032,
e^{x_3/5}\approx 16{,}497,\qquad f(x_3)\approx 131{,}4,
f'(x_3)\approx 16{,}497\cdot(1+2{,}8032)\approx 62{,}74,
\Delta_3\approx \frac{131{,}4}{62{,}74}\approx 2{,}0949,\qquad x_4\approx 14{,}016-2{,}0949\approx 11{,}921.

Passo 9

Iteração 4 → 5:
x_4\approx 11{,}921,\qquad \frac{x_4}{5}\approx 2{,}3842,
e^{x_4/5}\approx 10{,}84,\qquad f(x_4)\approx 29{,}3,
f'(x_4)\approx 10{,}84\cdot(1+2{,}3842)\approx 36{,}68,
\Delta_4\approx \frac{29{,}3}{36{,}68}\approx 0{,}799,\qquad x_5\approx 11{,}921-0{,}799\approx 11{,}122.

Passo 10

Iteração 5 → 6:
x_5\approx 11{,}122,\qquad \frac{x_5}{5}\approx 2{,}2244,
e^{x_5/5}\approx 9{,}246,\qquad f(x_5)\approx 2{,}852,
f'(x_5)\approx 9{,}246\cdot(1+2{,}2244)\approx 29{,}80,
\Delta_5\approx \frac{2{,}852}{29{,}80}\approx 0{,}09579,\qquad x_6\approx 11{,}122-0{,}09579\approx 11{,}02621.

Passo 11

Iteração 6 → 7:
x_6\approx 11{,}02621,\qquad \frac{x_6}{5}\approx 2{,}205242,
e^{x_6/5}\approx 9{,}071,\qquad f(x_6)\approx 0{,}0189,
f'(x_6)\approx 9{,}071\cdot(1+2{,}205242)\approx 29{,}089,
\Delta_6\approx \frac{0{,}0189}{29{,}089}\approx 0{,}000649,\qquad x_7\approx 11{,}02621-0{,}000649\approx 11{,}02556.
Diferença |x_7-x_6|\approx 6{,}49\times 10^{-4}>10^{-6}, portanto continuamos.

Passo 12

Iteração 7 → 8:
x_7\approx 11{,}02556,\qquad \frac{x_7}{5}\approx 2{,}205112,
e^{x_7/5}\approx 9{,}06985,\qquad f(x_7)\approx -0{,}00036,
f'(x_7)\approx 9{,}06985\cdot(1+2{,}205112)\approx 29{,}084,
\Delta_7\approx \frac{-0{,}00036}{29{,}084}\approx -1{,}237\times 10^{-5}, \qquad x_8\approx 11{,}02556-(-1{,}237\times 10^{-5})\approx 11{,}02557238.
Agora |x_8-x_7|\approx 1{,}237\times 10^{-5}>10^{-6}, ainda não satisfeito.

Passo 13

Iteração 8 → 9:
Usando a linearização (ou calculando f(x_8) diretamente) obtém-se um valor muito pequeno para f(x_8), da ordem de 10^{-7}; consequentemente
\Delta_8\approx \mathcal{O}(10^{-8})
e
|x_9-x_8|\approx \mathcal{O}(10^{-8})<10^{-6}.
Portanto a condição de parada |x_{n+1}-x_n|<10^{-6} é satisfeita ao avançar para x_9. Tomamos como solução aproximada o valor x_8 ou x_9 com precisão melhor que 10^{-6}.
Um valor numérico estável (arredondado a 6 casas decimais) é
R\approx 11{,}025572.

Resposta

(a) Existe uma raiz positiva e ela está localizada no intervalo (11,11{,}1).
(b) R\approx 11{,}025572

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