A resistência
(em
) de um circuito satisfaz a equação transcendental
(a) Mostre que existe uma raiz positiva e localize-a por inspeção gráfica.
(b) Aplique o método de Newton com
para determinar
com
.
(b) Aplique o método de Newton com
Passo 1
O enunciado dá a equação transcendental
onde
é a resistência em
. Há duas tarefas:
(a) mostrar que existe uma raiz positiva e localizá-la por inspeção gráfica (ou por avaliações que simulam a inspeção do gráfico);
(b) aplicar o método de Newton com para determinar
com tolerância
.
(a) mostrar que existe uma raiz positiva e localizá-la por inspeção gráfica (ou por avaliações que simulam a inspeção do gráfico);
(b) aplicar o método de Newton com
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
e procuramos . - A equação pode ser reescrita como função raiz de
logo as raízes de
são as soluções procuradas.
- Para (b) o ponto inicial é
e a tolerância de parada é .
Passo 2
(a) Mostrar existência e localizar por inspeção gráfica (interpretação por avaliações).
Defina
. Primeiro observação de continuidade: a função
é contínua para todo
, logo
é contínua em
. Para localizar uma raiz por inspeção gráfica, avalia-se
em alguns pontos positivos até detectar mudança de sinal (isso equivale a olhar o gráfico e ver onde cruza o eixo
).
Calcule
em alguns pontos:
Como
é contínua e
enquanto
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
. Isto corresponde à localização gráfica: o gráfico de
cruza o eixo
entre
e
.
Adicionalmente, calcule a derivada para ver unicidade e comportamento:
Para
temos
e
, logo
para todo
. Assim
é estritamente crescente em
. Conclusão: existe exatamente uma raiz positiva e ela está no intervalo
.
Passo 3
(b) Método de Newton — princípio e fórmula.
O método de Newton para achar raiz de
usa a iteração
Aqui
Interpretação rápida e intuição: em cada iteração aproximamos a curva
por sua reta tangente em
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como próxima aproximação
. Como
é suave e a raiz é simples (pela monotonicidade
na vizinhança), Newton costuma convergir rapidamente se o chute inicial não for muito ruim. Temos
dado; vamos iterar até
.
Passo 4
Preparação das fórmulas usadas em cada iteração:
(essa forma alternativa pode ajudar a organizar cálculos, mas nas contas abaixo usarei a forma direta com
e
.)
Agora efetuamos as iterações numéricas. Em cada linha dou
,
,
,
e
. Aproximações mostradas com várias casas decimais; o critério de parada é
.
Passo 5
Iteração 0 → 1:
Passo 6
Iteração 1 → 2:
(na prática o valor é grande e positivo),
(Observação: nesta iteração
era grande e positiva, por isso a correção é significativa — isso é normal: o chute inicial
estava longe da raiz.)
Passo 7
Iteração 2 → 3:
Passo 8
Iteração 3 → 4:
Passo 9
Iteração 4 → 5:
Passo 10
Iteração 5 → 6:
Passo 11
Iteração 6 → 7:
Diferença
, portanto continuamos.
Passo 12
Iteração 7 → 8:
Agora
, ainda não satisfeito.
Passo 13
Iteração 8 → 9:
Usando a linearização (ou calculando diretamente) obtém-se um valor muito pequeno para
, da ordem de
; consequentemente
Usando a linearização (ou calculando
e
Portanto a condição de parada
é satisfeita ao avançar para
. Tomamos como solução aproximada o valor
ou
com precisão melhor que
.
Um valor numérico estável (arredondado a 6 casas decimais) é
Resposta
(a) Existe uma raiz positiva e ela está localizada no intervalo
.
(b)