1- Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss, classifique-os e calcule o determinante de cada um deles. Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais. \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=10 \\\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5 \\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3\end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas:
Breve lembrete didático: a eliminação de Gauss transforma a matriz aumentada por operações elementares de linha (somar múltiplos de linhas a outras, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) até obter uma forma triangular superior, o que permite resolver por substituição reversa. Também é útil para calcular o posto e o determinante (produto dos pivôs de uma matriz triangular, considerando trocas de linhas).]
Passo 3
Eliminação do elemento x_1 nas linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô (a_{11}=4,0000).
Fator para zerar: multiplicar a linha 1 por 1/4=0,2500 e subtrair das linhas 2,3,4.
Comentário didático: percebemos uma linha toda nula (linha 4), o que indica dependência linear entre as equações — normalmente leva a posto menor que o número de incógnitas e, portanto, a possibilidade de infinitas soluções (se a linha nula estiver no lado dos coeficientes e o lado direito também for zero, como aqui).]
Passo 5
Agora temos uma matriz triangular superior (com uma linha nula). A última equação não fornece informação nova (0 = 0). Prosseguimos por substituição regressiva a partir da terceira linha.
Didática rápida sobre classificação e determinante:
Se a matriz dos coeficientes tem posto igual a 4 (número de incógnitas), o sistema tem solução única. Se o posto for menor que 4 e as equações forem compatíveis (nenhuma equação contraditória), o sistema tem infinitas soluções (sistema indeterminado). Aqui o posto é 3 (há uma linha zero), logo há infinitas soluções.
O determinante de uma matriz quadrada que, por eliminação, se reduz a uma matriz triangular, é o produto dos pivôs (elementos da diagonal) multiplicado por -1 elevado ao número de trocas de linhas efetuadas. Como não efetuámos trocas de linhas, o determinante é o produto direto dos pivôs. No nosso caso, o último pivô é zero (linha nula), portanto o determinante é zero.]
Passo 9
Cálculo explícito do determinante (com quatro casas decimais):
Pivôs obtidos durante a eliminação: a_{11}=4,0000, a_{22}=1,2500, a_{33}=2,0000, a_{44}=0,0000 (último pivô é zero).