1- Determine o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de eliminação de Gauss, classifique-os e calcule o determinante de cada um deles. Obs. Façam todos os cálculos com 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=10 \\\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5 \\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=10\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=5\\[4pt] x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3 \end{array}\right.
  • O que é pedido:
    1. Determinar o vetor solução usando o método de eliminação de Gauss.
    2. Classificar o sistema (única solução / infinitas soluções / impossível).
    3. Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
  • Observação importante: todos os cálculos devem ser apresentados com quatro casas decimais.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada do sistema (já com 4 casas decimais em cada entrada). Escrevo a matriz coeficiente | termos independentes:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4,0000 & 3,0000 & 2,0000 & 1,0000 & 10,0000\\[4pt] 1,0000 & 2,0000 & 3,0000 & 4,0000 & 5,0000\\[4pt] 1,0000 & -1,0000 & -1,0000 & -1,0000 & -1,0000\\[4pt] 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 1,0000 & 3,0000 \end{array}\right]
Breve lembrete didático: a eliminação de Gauss transforma a matriz aumentada por operações elementares de linha (somar múltiplos de linhas a outras, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) até obter uma forma triangular superior, o que permite resolver por substituição reversa. Também é útil para calcular o posto e o determinante (produto dos pivôs de uma matriz triangular, considerando trocas de linhas).]

Passo 3

Eliminação do elemento x_1 nas linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô ( a_{11}=4,0000).
Fator para zerar: multiplicar a linha 1 por 1/4=0,2500 e subtrair das linhas 2,3,4.
Cálculos (com quatro casas decimais):
  • Linha 2 nova: \text{L2} \leftarrow \text{L2} - 0,2500\cdot\text{L1} \begin{array}{l} 1,0000-0,2500\cdot4,0000=0,0000,\\[2pt] 2,0000-0,2500\cdot3,0000=1,2500,\\[2pt] 3,0000-0,2500\cdot2,0000=2,5000,\\[2pt] 4,0000-0,2500\cdot1,0000=3,7500,\\[2pt] 5,0000-0,2500\cdot10,0000=2,5000. \end{array}
  • Linha 3 nova: \text{L3} \leftarrow \text{L3} - 0,2500\cdot\text{L1} \begin{array}{l} 1,0000-0,2500\cdot4,0000=0,0000,\\[2pt] -1,0000-0,2500\cdot3,0000=-1,7500,\\[2pt] -1,0000-0,2500\cdot2,0000=-1,5000,\\[2pt] -1,0000-0,2500\cdot1,0000=-1,2500,\\[2pt] -1,0000-0,2500\cdot10,0000=-3,5000. \end{array}
  • Linha 4 nova: \text{L4} \leftarrow \text{L4} - 0,2500\cdot\text{L1} \begin{array}{l} 1,0000-0,2500\cdot4,0000=0,0000,\\[2pt] 1,0000-0,2500\cdot3,0000=0,2500,\\[2pt] 1,0000-0,2500\cdot2,0000=0,5000,\\[2pt] 1,0000-0,2500\cdot1,0000=0,7500,\\[2pt] 3,0000-0,2500\cdot10,0000=0,5000. \end{array}
Matriz após essa etapa:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4,0000 & 3,0000 & 2,0000 & 1,0000 & 10,0000\\[4pt] 0,0000 & 1,2500 & 2,5000 & 3,7500 & 2,5000\\[4pt] 0,0000 & -1,7500 & -1,5000 & -1,2500 & -3,5000\\[4pt] 0,0000 & 0,2500 & 0,5000 & 0,7500 & 0,5000 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora escolhemos o pivô a_{22}=1,2500 (não é zero), e eliminamos x_2 nas linhas 3 e 4.
Fatores de eliminação:
  • Para a linha 3: f_{32}=\dfrac{-1,7500}{1,2500}=-1,4000.
  • Para a linha 4: f_{42}=\dfrac{0,2500}{1,2500}=0,2000.
Aplicando as operações (cada operação com quatro casas decimais):
  • \text{L3}\leftarrow \text{L3} - f_{32}\cdot\text{L2} = \text{L3} - (-1,4000)\cdot\text{L2} = \text{L3} + 1,4000\cdot\text{L2}.
    Cálculo rápido: \begin{array}{l} -1,7500 + 1,4000\cdot1,2500 = -1,7500 + 1,7500 = 0,0000,\\[2pt] -1,5000 + 1,4000\cdot2,5000 = -1,5000 + 3,5000 = 2,0000,\\[2pt] -1,2500 + 1,4000\cdot3,7500 = -1,2500 + 5,2500 = 4,0000,\\[2pt] -3,5000 + 1,4000\cdot2,5000 = -3,5000 + 3,5000 = 0,0000. \end{array}
  • \text{L4}\leftarrow \text{L4} - f_{42}\cdot\text{L2} = \text{L4} - 0,2000\cdot\text{L2}.
    Cálculo: \begin{array}{l} 0,2500 - 0,2000\cdot1,2500 = 0,2500 - 0,2500 = 0,0000,\\[2pt] 0,5000 - 0,2000\cdot2,5000 = 0,5000 - 0,5000 = 0,0000,\\[2pt] 0,7500 - 0,2000\cdot3,7500 = 0,7500 - 0,7500 = 0,0000,\\[2pt] 0,5000 - 0,2000\cdot2,5000 = 0,5000 - 0,5000 = 0,0000. \end{array}
Matriz após essa etapa:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4,0000 & 3,0000 & 2,0000 & 1,0000 & 10,0000\\[4pt] 0,0000 & 1,2500 & 2,5000 & 3,7500 & 2,5000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 2,0000 & 4,0000 & 0,0000\\[4pt] 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 \end{array}\right]
Comentário didático: percebemos uma linha toda nula (linha 4), o que indica dependência linear entre as equações — normalmente leva a posto menor que o número de incógnitas e, portanto, a possibilidade de infinitas soluções (se a linha nula estiver no lado dos coeficientes e o lado direito também for zero, como aqui).]

Passo 5

Agora temos uma matriz triangular superior (com uma linha nula). A última equação não fornece informação nova (0 = 0). Prosseguimos por substituição regressiva a partir da terceira linha.
Da terceira linha (R3):
2,0000\,x_{3} + 4,0000\,x_{4} = 0,0000.
Dividindo por 2,0000:
x_{3} + 2,0000\,x_{4} = 0,0000 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = -2,0000\,x_{4}.

Passo 6

Substituímos x_{3} na segunda equação (R2), cujo enunciado em forma decimal é:
1,2500\,x_{2} + 2,5000\,x_{3} + 3,7500\,x_{4} = 2,5000.
Substituindo x_{3} = -2,0000\,x_{4}:
1,2500\,x_{2} + 2,5000(-2,0000\,x_{4}) + 3,7500\,x_{4} = 2,5000.
Calcule passo a passo:
1,2500\,x_{2} -5,0000\,x_{4} + 3,7500\,x_{4} = 2,5000,
1,2500\,x_{2} -1,2500\,x_{4} = 2,5000.
Dividindo ambos os lados por 1,2500:
x_{2} - 1,0000\,x_{4} = 2,0000 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = 2,0000 + 1,0000\,x_{4}.

Passo 7

Substituímos x_{2} e x_{3} na primeira equação (R1):
4,0000\,x_{1} + 3,0000\,x_{2} + 2,0000\,x_{3} + 1,0000\,x_{4} = 10,0000.
Substituindo x_{2}=2,0000 + x_{4} e x_{3}=-2,0000\,x_{4}:
4,0000\,x_{1} + 3,0000(2,0000 + x_{4}) + 2,0000(-2,0000\,x_{4}) + 1,0000\,x_{4} = 10,0000.
Desenvolvendo:
4,0000\,x_{1} + 6,0000 + 3,0000\,x_{4} -4,0000\,x_{4} + 1,0000\,x_{4} = 10,0000.
Note que os termos em x_{4} somam 3,0000-4,0000+1,0000=0,0000, então cancelam:
4,0000\,x_{1} + 6,0000 = 10,0000 \quad\Longrightarrow\quad 4,0000\,x_{1} = 4,0000.
Portanto
x_{1} = 1,0000.

Passo 8

Resumo das soluções encontradas (introduzindo um parâmetro livre para x_{4}):
  • Seja \lambda = x_{4}\in\mathbb{R} parâmetro livre.
  • Então x_{1} = 1,0000,\qquad x_{2} = 2,0000 + 1,0000\,\lambda,\qquad x_{3} = -2,0000\,\lambda,\qquad x_{4}=\lambda.
Podemos escrever o vetor solução de forma vetorial:
\vec{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,0000\\[2pt]2,0000\\[2pt]0,0000\\[2pt]0,0000\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}0,0000\\[2pt]1,0000\\[2pt]-2,0000\\[2pt]1,0000\end{pmatrix},\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
Didática rápida sobre classificação e determinante:
  • Se a matriz dos coeficientes tem posto igual a 4 (número de incógnitas), o sistema tem solução única. Se o posto for menor que 4 e as equações forem compatíveis (nenhuma equação contraditória), o sistema tem infinitas soluções (sistema indeterminado). Aqui o posto é 3 (há uma linha zero), logo há infinitas soluções.
  • O determinante de uma matriz quadrada que, por eliminação, se reduz a uma matriz triangular, é o produto dos pivôs (elementos da diagonal) multiplicado por -1 elevado ao número de trocas de linhas efetuadas. Como não efetuámos trocas de linhas, o determinante é o produto direto dos pivôs. No nosso caso, o último pivô é zero (linha nula), portanto o determinante é zero.]

Passo 9

Cálculo explícito do determinante (com quatro casas decimais):
  • Pivôs obtidos durante a eliminação: a_{11}=4,0000, a_{22}=1,2500, a_{33}=2,0000, a_{44}=0,0000 (último pivô é zero).
  • Produto:
\det(A)=4,0000\times1,2500\times2,0000\times0,0000=0,0000.

Resposta

\displaystyle \vec{x}=\begin{pmatrix}1,0000\\[4pt]2,0000+\lambda\\[4pt]-2,0000\,\lambda\\[4pt]\lambda\end{pmatrix},\\ \lambda\in\mathbb{R}
Infinitas soluções (sistema indeterminado; posto =3)
\det(A)=0,0000]

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