- Um determinado veículo vai ser pago em 48 parcelas mensais fixas de
400,00$ (PMT). O valor futuro (VF) é calculado como
em que
é a taxa de juros e
é o período (meses). Escolha o método numérico mais adequado para determinar a taxa de juro mensal, sabendo que daqui a 48 meses o pagamento futuro será
35.000,00$.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está claramente abaixo:
- Pagamento mensal fixo (anuidade):
. - Número de períodos (meses):
. - Valor futuro desejado:
. - Fórmula que relaciona estes termos:
em que
é a taxa de juros mensal (desconhecida).
O que o problema pede:
- Determinar a taxa de juro mensal
que satisfaz a equação acima. - Escolher e justificar um método numérico adequado para encontrar
.
Informações relevantes resumidas:
- É um problema de encontrar a raiz de uma equação não linear em
. - A incógnita aparece de forma não-isolável por álgebra elementar (aparece tanto em potência quanto no denominador), logo é necessário um método numérico.
Passo 2
Transformar o problema numa função cuja raiz queremos encontrar. Defino a função
Neste caso, com os números dados:
Queremos encontrar
tal que
.
Breve explicação do porquê é uma raíz: a expressão do lado esquerdo da equação do enunciado dá o valor futuro associado a uma taxa
; subtraindo
obtemos uma função que é zero exatamente quando a taxa substitui o valor desejado.
Passo 3
Discussão das opções de métodos numéricos (em linguagem simples e prática):
- Bissecção: muito robusto (sempre converge se houver troca de sinal), mas converge lentamente (erro reduz-se linearmente). Bom quando se tem pouca informação e não se quer risco.
- Newton–Raphson: converge muito rápido (quadraticamente) perto da raiz, mas exige a derivada
e um palpite inicial razoável; se o palpite for ruim pode divergir. - Secante: parecido com Newton, mas não exige derivada — usa dois palpites e constrói uma aproximação da derivada. Em geral converge mais rápido que bissecção e é mais simples que Newton (não precisa calcular
). É um bom compromisso para problemas de finanças onde a função é suave.
Escolha para este problema:
- Vou usar o método da secante. Justificativa: a função é suave e bem comportada para
; a secante evita o cálculo / manipulação da derivada (que é um pouco trabalhosa), é simples de aplicar manualmente e costuma convergir rápido com dois palpites próximos. Para uma resolução em prova (sem software) é prático e eficiente.
Explicação do método da secante (passo a passo):
- Dados dois palpites iniciais
e com e (preferivelmente com sinais opostos, mas não estritamente necessário), a fórmula da secante é
- Repetir até que a diferença entre iterações seja pequena (critério de parada). Vou usar como critério prático
(ou quando for muito próximo de zero).
Passo 4
Escolha dos palpites iniciais e cálculo de
nesses pontos (os cálculos são detalhados para que dê para reproduzir na prova).
Primeiro obtenho palpites aproximados por tentativa rápida:
- Testo
(2% ao mês). Calculo por aproximação usando : , então e . Assim
ou seja
.
- Testo
(3% ao mês). , , . Então
ou seja
.
Como
e
, há uma raiz entre
e
. Vou escolher dois palpites mais próximos para secante:
e
, porque testagens rápidas mostram que a raiz está perto de
.
Cálculo detalhado de
nesses palpites (usar aproximação de
e exponencial é aceitável manualmente):
-
Para
: -
. -
e . - Então
-
-
Para
: -
. -
e . - Então
-
Portanto temos
e
: sinais opostos — bom para a secante.
Passo 5
Aplicação das iterações do método da secante (mostro as contas principais de cada passo).
Fórmula da secante repetida:
Iteração 1 (usando
,
):
Agora calculo
(cálculo com o mesmo tipo de aproximação):
- Para
: -
(usando série), . -
. - Então
-
(Aproximação indica
pequeno e positivo, da ordem de dezenas.)
Iteração 2 (usar
e
):
Calculo do termo:
Então
(Observação: o sinal da correção foi pequeno; se os sinais aproximados de
tiverem pequenas imprecisões nas aproximações exponenciais, a iteração pode oscilar um pouco. Continuamos até que a diferença entre iterações fique menor que o critério.)
Iteração 3 (recalculo
rapidamente com a mesma técnica; neste ponto
será da ordem de unidades ou menos; após mais uma iteração o ajuste será micrométrico). Fazendo mais uma iteração com valores mais acurados obtém-se convergência para:
Comentários sobre precisão e estabilidade:
- As aproximações de exponenciais usadas acima (séries de
e exponencial) são suficientes para convergir até cerca de em com algumas iterações, desde que se calcule com atenção. - Se houver calculadora disponível na prova, repita as mesmas etapas com cálculos diretos de
para obter maior precisão. O método da secante costuma dar a convergência desejada em 3–5 iterações para este problema.
Passo 6
Interpretação do resultado e conversões úteis (para usar na prova ou entender o número):
- A taxa mensal encontrada é aproximadamente
, ou seja cerca de ao mês. - Em forma decimal é
. - Para transformar em taxa nominal anual (capitalização simples mensal) multiplica-se por 12:
(ou ao ano, nominal). - Para taxa efetiva anual usar
: (ou cerca de efetivo ao ano).
Dica prática para a prova: se não precisar de altíssima precisão, apresentar
(2,361% ao mês) é suficiente; se precisar de 4 casas decimais use
. Use a secante com palpites próximos e 2–4 iterações.