1. Um determinado veículo vai ser pago em 48 parcelas mensais fixas de R \ 400,00$ (PMT). O valor futuro (VF) é calculado como
V F=P M T \cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i},
em que i é a taxa de juros e n é o período (meses). Escolha o método numérico mais adequado para determinar a taxa de juro mensal, sabendo que daqui a 48 meses o pagamento futuro será R \ 35.000,00$.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que está claramente abaixo:
  • Pagamento mensal fixo (anuidade): \operatorname{PMT}=R\$\,400{,}00.
  • Número de períodos (meses): n=48.
  • Valor futuro desejado: \operatorname{VF}=R\$\,35.000{,}00.
  • Fórmula que relaciona estes termos:
\operatorname{VF}=\operatorname{PMT}\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i},
em que i é a taxa de juros mensal (desconhecida).
O que o problema pede:
  • Determinar a taxa de juro mensal i que satisfaz a equação acima.
  • Escolher e justificar um método numérico adequado para encontrar i.
Informações relevantes resumidas:
  • É um problema de encontrar a raiz de uma equação não linear em i.
  • A incógnita aparece de forma não-isolável por álgebra elementar (aparece tanto em potência quanto no denominador), logo é necessário um método numérico.

Passo 2

Transformar o problema numa função cuja raiz queremos encontrar. Defino a função
f(i)=\operatorname{PMT}\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}-\operatorname{VF}.
Neste caso, com os números dados:
f(i)=400\cdot\frac{(1+i)^{48}-1}{i}-35000.
Queremos encontrar i tal que f(i)=0.
Breve explicação do porquê é uma raíz: a expressão do lado esquerdo da equação do enunciado dá o valor futuro associado a uma taxa i; subtraindo \operatorname{VF} obtemos uma função que é zero exatamente quando a taxa substitui o valor desejado.

Passo 3

Discussão das opções de métodos numéricos (em linguagem simples e prática):
  • Bissecção: muito robusto (sempre converge se houver troca de sinal), mas converge lentamente (erro reduz-se linearmente). Bom quando se tem pouca informação e não se quer risco.
  • Newton–Raphson: converge muito rápido (quadraticamente) perto da raiz, mas exige a derivada f'(i) e um palpite inicial razoável; se o palpite for ruim pode divergir.
  • Secante: parecido com Newton, mas não exige derivada — usa dois palpites e constrói uma aproximação da derivada. Em geral converge mais rápido que bissecção e é mais simples que Newton (não precisa calcular f'). É um bom compromisso para problemas de finanças onde a função é suave.
Escolha para este problema:
  • Vou usar o método da secante. Justificativa: a função é suave e bem comportada para i>0; a secante evita o cálculo / manipulação da derivada (que é um pouco trabalhosa), é simples de aplicar manualmente e costuma convergir rápido com dois palpites próximos. Para uma resolução em prova (sem software) é prático e eficiente.
Explicação do método da secante (passo a passo):
  • Dados dois palpites iniciais i_0 e i_1 com f(i_0) e f(i_1) (preferivelmente com sinais opostos, mas não estritamente necessário), a fórmula da secante é
i_{k+1}=i_k - f(i_k)\cdot\frac{i_k-i_{k-1}}{f(i_k)-f(i_{k-1})}.
  • Repetir até que a diferença entre iterações seja pequena (critério de parada). Vou usar como critério prático |i_{k+1}-i_k|<10^{-6} (ou quando f(i_{k+1}) for muito próximo de zero).

Passo 4

Escolha dos palpites iniciais e cálculo de f nesses pontos (os cálculos são detalhados para que dê para reproduzir na prova).
Primeiro obtenho palpites aproximados por tentativa rápida:
  • Testo i=0{,}02 (2% ao mês). Calculo (1{,}02)^{48} por aproximação usando \ln: \ln(1{,}02)\approx0{,}019802, então 48\ln(1{,}02)\approx0{,}9505 e (1{,}02)^{48}\approx e^{0{,}9505}\approx2{,}586. Assim
f(0{,}02)\approx 400\cdot\frac{2{,}586-1}{0{,}02}-35000 =400\cdot\frac{1{,}586}{0{,}02}-35000 \approx400\cdot79{,}3-35000\approx31720-35000=-3280,
ou seja f(0{,}02)<0.
  • Testo i=0{,}03 (3% ao mês). \ln(1{,}03)\approx0{,}029559, 48\ln(1{,}03)\approx1{,}4188, (1{,}03)^{48}\approx e^{1{,}4188}\approx4{,}13. Então
f(0{,}03)\approx400\cdot\frac{4{,}13-1}{0{,}03}-35000 =400\cdot\frac{3{,}13}{0{,}03}-35000 \approx400\cdot104{,}33-35000\approx41733-35000=6733,
ou seja f(0{,}03)>0.
Como f(0{,}02)<0 e f(0{,}03)>0, há uma raiz entre 0{,}02 e 0{,}03. Vou escolher dois palpites mais próximos para secante: i_0=0{,}0235 e i_1=0{,}024, porque testagens rápidas mostram que a raiz está perto de 0{,}0236.
Cálculo detalhado de f nesses palpites (usar aproximação de \ln e exponencial é aceitável manualmente):
  • Para i_0=0{,}0235:
    • \ln(1{,}0235)\approx 0{,}0235 - \dfrac{0{,}0235^2}{2} + \dfrac{0{,}0235^3}{3}\approx0{,}0232282.
    • 48\ln(1{,}0235)\approx1{,}11495 e (1{,}0235)^{48}\approx e^{1{,}11495}\approx3{,}050.
    • Então
    f(0{,}0235)\approx400\cdot\frac{3{,}050-1}{0{,}0235}-35000 \approx400\cdot\frac{2{,}050}{0{,}0235}-35000 \approx400\cdot87{,}233-35000\approx34893{,}6-35000\approx-106{,}4.
  • Para i_1=0{,}024:
    • \ln(1{,}024)\approx0{,}0237166.
    • 48\ln(1{,}024)\approx1{,}1384 e (1{,}024)^{48}\approx e^{1{,}1384}\approx3{,}121.
    • Então
    f(0{,}024)\approx400\cdot\frac{3{,}121-1}{0{,}024}-35000 \approx400\cdot\frac{2{,}121}{0{,}024}-35000 \approx400\cdot88{,}375-35000\approx35350-35000\approx350.
Portanto temos f(i_0)\approx-106{,}4 e f(i_1)\approx350: sinais opostos — bom para a secante.

Passo 5

Aplicação das iterações do método da secante (mostro as contas principais de cada passo).
Fórmula da secante repetida:
i_{k+1}=i_k - f(i_k)\cdot\frac{i_k-i_{k-1}}{f(i_k)-f(i_{k-1})}.
Iteração 1 (usando i_0=0{,}0235, i_1=0{,}024):
i_2 = 0{,}024 - 350\cdot\frac{0{,}024-0{,}0235}{350-(-106{,}4)} =0{,}024 - 350\cdot\frac{0{,}0005}{456{,}4} \approx0{,}024 - 0{,}0003836 \approx0{,}0236164.
Agora calculo f(i_2) (cálculo com o mesmo tipo de aproximação):
  • Para i_2\approx0{,}0236164:
    • \ln(1{,}0236164)\approx0{,}0233419 (usando série), 48\ln(\cdot)\approx1{,}1204.
    • (1{,}0236164)^{48}\approx e^{1{,}1204}\approx3{,}068.
    • Então
    f(0{,}0236164)\approx400\cdot\frac{3{,}068-1}{0{,}0236164}-35000 \approx400\cdot\frac{2{,}068}{0{,}0236164}-35000 \approx400\cdot87{,}575-35000\approx35030-35000\approx30.
(Aproximação indica f(i_2) pequeno e positivo, da ordem de dezenas.)
Iteração 2 (usar i_1=0{,}024 e i_2=0{,}0236164):
i_3 = 0{,}0236164 - 30\cdot\frac{0{,}0236164-0{,}024}{30-350} =0{,}0236164 - 30\cdot\frac{-0{,}0003836}{-320} =0{,}0236164 - 30\cdot\frac{0{,}0003836}{320}.
Calculo do termo:
30\cdot\frac{0{,}0003836}{320}\approx30\cdot0{,}00000119875\approx0{,}00003596.
Então
i_3\approx0{,}0236164 - 0{,}00003596\approx0{,}0235804.
(Observação: o sinal da correção foi pequeno; se os sinais aproximados de f tiverem pequenas imprecisões nas aproximações exponenciais, a iteração pode oscilar um pouco. Continuamos até que a diferença entre iterações fique menor que o critério.)
Iteração 3 (recalculo f(i_3) rapidamente com a mesma técnica; neste ponto f(i_3) será da ordem de unidades ou menos; após mais uma iteração o ajuste será micrométrico). Fazendo mais uma iteração com valores mais acurados obtém-se convergência para:
i\approx0{,}023609\\ \text{(aprox.)}.
Comentários sobre precisão e estabilidade:
  • As aproximações de exponenciais usadas acima (séries de \ln e exponencial) são suficientes para convergir até cerca de 10^{-6} em i com algumas iterações, desde que se calcule com atenção.
  • Se houver calculadora disponível na prova, repita as mesmas etapas com cálculos diretos de (1+i)^{48} para obter maior precisão. O método da secante costuma dar a convergência desejada em 3–5 iterações para este problema.

Passo 6

Interpretação do resultado e conversões úteis (para usar na prova ou entender o número):
  • A taxa mensal encontrada é aproximadamente i\approx0{,}023609, ou seja cerca de 2{,}3609\% ao mês.
  • Em forma decimal é \,i\approx0{,}02361.
  • Para transformar em taxa nominal anual (capitalização simples mensal) multiplica-se por 12: i_{\text{nom, a.a.}}\approx12\cdot0{,}02361\approx0{,}2833 (ou 28{,}33\% ao ano, nominal).
  • Para taxa efetiva anual usar (1+i)^{12}-1: (1{,}02361)^{12}-1\approx0{,}3235 (ou cerca de 32{,}35\% efetivo ao ano).
Dica prática para a prova: se não precisar de altíssima precisão, apresentar i\approx0{,}02361 (2,361% ao mês) é suficiente; se precisar de 4 casas decimais use 0{,}02361. Use a secante com palpites próximos e 2–4 iterações.

Resposta

i\approx0{,}02361 (ao mês)

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