Determine o vetor w tal que 3 w-2 u+v=2 u-w+4 v, sendo u=(-2,3) e v=(1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação vetorial
3w-2u+v=2u-w+4v,
onde u=(-2,3) e v=(1,2). Precisamos encontrar w. O conteúdo envolve propriedades de soma e multiplicação por escalar em vetores e o fato de que duas expressões vetoriais são iguais se, e somente se, suas componentes são iguais.

Passo 2

Vamos isolar os termos que envolvem w. Somando w aos dois lados e somando 2u e subtraindo v de ambos os lados, obtemos
3w+w-2u+v+2u-v=2u-w+4v+2u-v,
que simplifica para
4w=4u+3v

Passo 3

Dividindo ambos os lados da última igualdade por 4, encontramos a expressão de w em função de u e v:
w=4u+3v4

Passo 4

Substituindo u=(-2,3) e v=(1,2) em 4u+3v=(4cdot(-2),4cdot3)+(3cdot1,3cdot2)=(-8,12)+(3,6)=(-5,18),
temos
w=(-5,18)4=l(-tfrac54,tfrac184r)=l(-tfrac54,tfrac92r)

Resposta

w=l(-tfrac54,tfrac92r).

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