y^prime prime+2 y=r(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=0 r=ll0, & 0 <= t<1 1 & t >= 1

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa equação diferencial: y'' + 2y = r(t) com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 . A função r(t) é definida por partes: ela vale 0 quando 0 <= t < 1 e 1 quando t >= 1 . Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares e resolver em dois pedaços, considerando os diferentes comportamentos de r(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver para o intervalo 0 <= t < 1 , onde r(t) = 0 . A equação fica homogênea: y'' + 2y = 0 . A solução geral dessa equação é da forma y(t) = A cos(raiz2, t) + B sin(raiz2, t) , onde A e B são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 3

Aplicando as condições iniciais: quando t = 0 , y(0) = 0 , então:
0 = A cos(0) + B sin(0) Rightarrow 0 = A times 1 + B times 0 Rightarrow A = 0
Agora, derivamos y(t) :
y'(t) = -A raiz2 sin(raiz2, t) + B raiz2 cos(raiz2, t)
Usando y'(0) = 0 :
0 = -0 + B raiz2 times 1 Rightarrow B = 0
Então, para 0 <= t < 1 , a solução é y(t) = 0 .

Passo 4

Agora, vamos para o intervalo t >= 1 , onde r(t) = 1 . A equação diferencial agora é y'' + 2y = 1 . Essa é uma equação não homogênea, então vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 5

Já sabemos que a solução homogênea é yh(t) = A cos(raiz2, t) + B sin(raiz2, t) . Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(t) . Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução constante. Vamos supor yp(t) = C .

Passo 6

Substituindo yp(t) = C na equação:
0 + 2C = 1 Rightarrow C = 12
Então, a solução geral para t >= 1 é:
y(t) = A cos(raiz2, t) + B sin(raiz2, t) + 12

Passo 7

Precisamos garantir que a solução seja contínua e suave em t = 1 . Ou seja, y(t) e y'(t) devem ser iguais quando t se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
Para t < 1 , y(1^-) = 0 e y'(1^-) = 0 .
Para t >= 1 , temos:
y(1^+) = A cos(raiz2) + B sin(raiz2) + 12 = 0
y'(1^+) = -A raiz2 sin(raiz2) + B raiz2 cos(raiz2) = 0

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. A cos(raiz2) + B sin(raiz2) = -12
  2. -A sin(raiz2) + B cos(raiz2) = 0
Da segunda equação, isolamos A :
A = B tan(raiz2)
Substituindo na primeira equação:
B tan(raiz2) cos(raiz2) + B sin(raiz2) = -12
Simplificando:
B (sin(raiz2) + sin(raiz2)) = -12 Rightarrow 2 B sin(raiz2) = -12 Rightarrow B = -14 sin(raiz2)
Então, A = -tan(raiz2)4 sin(raiz2) = -14 cos(raiz2)

Resposta

A solução da equação é:
y(t) = 0, & 0 <= t < 1 -14 cos(raiz2) cos(raiz2, t) - 14 sin(raiz2) sin(raiz2, t) + 12, & t >= 1

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