Pesquise a demonstração da existência do limite de cada uma das sequências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer demonstrar que o limite da sequência
quando
tende ao infinito é igual a
. Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências na matemática, especificamente sobre como certas sequências se comportam quando o índice cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da sequência conforme
aumenta e usar alguns conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
. Para entender o que acontece com ela quando
fica muito grande, é útil reescrever essa expressão de uma forma que possamos manipular mais facilmente.
Vamos considerar o logaritmo natural dessa sequência, porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que simplifica as coisas:
Passo 3
Agora, vamos focar em calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é muito útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
.
Mas antes, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então quando
,
. A expressão passa a ser:
E queremos o limite quando
.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital nesse limite, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Isso nos mostra que:
Passo 5
Agora que sabemos que o limite do logaritmo da nossa sequência é 1, podemos encontrar o limite original elevando
a esse resultado:
Resposta
Portanto, demonstramos que: