Pesquise a demonstração da existência do limite de cada uma das sequências abaixo:
lim n infty(1+1n)^n=e

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente quer demonstrar que o limite da sequência (1+1n)^n quando n tende ao infinito é igual a e. Isso está relacionado ao conteúdo de limites de sequências na matemática, especificamente sobre como certas sequências se comportam quando o índice cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da sequência conforme n aumenta e usar alguns conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência (1+1n)^n. Para entender o que acontece com ela quando n fica muito grande, é útil reescrever essa expressão de uma forma que possamos manipular mais facilmente.
Vamos considerar o logaritmo natural dessa sequência, porque o logaritmo transforma potências em multiplicações, o que simplifica as coisas:
ln((1+1n)^n) = n cdot ln(1+1n)

Passo 3

Agora, vamos focar em calcular o limite de n cdot ln(1+1n) quando n tende ao infinito. Para isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é muito útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como 0 times infty.
Mas antes, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja x = 1n, então quando n to infty, x to 0. A expressão passa a ser:
ln(1 + x)x
E queremos o limite quando x to 0.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital nesse limite, derivamos o numerador e o denominador em relação a x:
limx to 0 ln(1 + x)x = limx to 0 11 + x1 = limx to 0 11 + x = 1
Isso nos mostra que:
limn to infty n cdot ln(1+1n) = 1

Passo 5

Agora que sabemos que o limite do logaritmo da nossa sequência é 1, podemos encontrar o limite original elevando e a esse resultado:
limn to infty (1+1n)^n = e^limn to infty n cdot ln(1+1n) = e^1 = e

Resposta

Portanto, demonstramos que:
lim n infty(1+1n)^n = e

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