Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
r(t)=lang<= t e^-t, 2 arctg t, 2 e^trang<=, t=0

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário T(t) para a curva dada por
r(t)=lang<= t e^-t,,2arctan t,,2e^trang<=
no ponto em que t=0.
Conteúdo: definição de vetor tangente unitário
T(t)=r'(t)|r'(t)|,
logo precisamos calcular r'(t), avaliar em t=0, obter sua norma e dividir.

Passo 2

Calcular a derivada componente a componente:
a) ddtl(t e^-tr)=e^-t-t e^-t (regra do produto).
b) ddtl(2arctan tr)=21+t^2.
c) ddtl(2e^tr)=2e^t.
Portanto,
r'(t)=llang<= e^-t(1-t),,tfrac21+t^2,,2e^trrang<=

Passo 3

Avaliar r'(t) em t=0:
e^0(1-0)=1, 21+0^2=2, 2e^0=2,
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r'(0)=lang<=1,,2,,2rang<=

Passo 4

Calcular a norma de r'(0):
|r'(0)|=raiz1^2+2^2+2^2=raiz1+4+4=raiz9=3

Passo 5

Formar o vetor tangente unitário em t=0:
T(0)=r'(0)|r'(0)| =13lang<=1,,2,,2rang<= =llang<=tfrac13,,tfrac23,,tfrac23rrang<=

Resposta

T(0)=llang<=tfrac13,,tfrac23,,tfrac23rrang<=

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