Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor do parâmetro dado t.
r(t)=lang<= t^2, 2 t, 1+3 t, 13 t^3+12 t^2rang<=, t=2

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário T(t) da curva
r(t)=lang<= t^2,2t,1+3t,tfrac13t^3+tfrac12t^2rang<=
no ponto em que t=2. Para isso usamos a definição
T(t)= r'(t)| r'(t)|,
isto é, calculamos a derivada r'(t) e depois normalizamos.

Passo 2

Derivando componente a componente,
r'(t) =ddtlang<= t^2,2t,1+3t,tfrac13t^3+tfrac12t^2rang<= =lang<= 2t,,2,,3,,t^2+trang<=

Passo 3

No ponto t=2,
r'(2)=lang<= 2cdot2,,2,,3,,2^2+2rang<= =lang<= 4,,2,,3,,6rang<=

Passo 4

A norma de r'(2) é
| r'(2)| =raiz4^2+2^2+3^2+6^2 =raiz16+4+9+36 =raiz65

Passo 5

Normalizando, o vetor tangente unitário em t=2 é
T(2) = r'(2)| r'(2)| =1raiz65lang<= 4,,2,,3,,6rang<=

Resposta

T(2)=1raiz65lang<= 4,,2,,3,,6rang<=.

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