Determine
para o qual o vetor
tem a segunda coodenada nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um número complexo
tal que, quando multiplicado pelo vetor
e somado ao vetor
multiplicado por
, a segunda coordenada desse vetor resultante seja zero. A matéria que vamos usar aqui é a álgebra de números complexos e operações com vetores. Precisaremos lembrar como multiplicar números complexos e somar vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as multiplicações dos vetores. Temos:
e
Vamos calcular cada componente separadamente.
Passo 3
Vamos calcular
:
Sabemos que
, então:
Então, a primeira coordenada fica 5.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Então, a segunda coordenada fica
.
Passo 5
Agora, somamos os vetores resultantes:
Queremos que a segunda coordenada seja zero:
Passo 6
Vamos resolver a equação
para encontrar
.
Primeiro, isolamos
:
Agora, para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Para simplificar
, multiplicamos numerador e denominador por
(que é o conjugado de
):
Sabendo que
: