Determine z in C para o qual o vetor z cdot(1, i)+(2-i) cdot(2+i,-1) in C^2 tem a segunda coodenada nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um número complexo z tal que, quando multiplicado pelo vetor (1, i) e somado ao vetor (2-i) multiplicado por (2+i, -1) , a segunda coordenada desse vetor resultante seja zero. A matéria que vamos usar aqui é a álgebra de números complexos e operações com vetores. Precisaremos lembrar como multiplicar números complexos e somar vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as multiplicações dos vetores. Temos:
z cdot (1, i) = (z cdot 1, z cdot i) = (z, z i)
e
(2 - i) cdot (2 + i, -1) = ((2 - i)(2 + i), (2 - i)(-1))
Vamos calcular cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos calcular (2 - i)(2 + i) :
(2 - i)(2 + i) = 2 cdot 2 + 2 cdot i - i cdot 2 - i cdot i = 4 + 2i - 2i - i^2
Sabemos que i^2 = -1 , então:
4 + 2i - 2i - (-1) = 4 + 1 = 5
Então, a primeira coordenada fica 5.

Passo 4

Agora, vamos calcular (2 - i)(-1) :
(2 - i)(-1) = -2 + i
Então, a segunda coordenada fica -2 + i .

Passo 5

Agora, somamos os vetores resultantes:
(z, z i) + (5, -2 + i) = (z + 5, z i - 2 + i)
Queremos que a segunda coordenada seja zero:
z i - 2 + i = 0

Passo 6

Vamos resolver a equação z i - 2 + i = 0 para encontrar z .
Primeiro, isolamos z i :
z i = 2 - i
Agora, para encontrar z , dividimos ambos os lados por i :
z = 2 - ii

Passo 7

Para simplificar 2 - ii , multiplicamos numerador e denominador por -i (que é o conjugado de i ):
z = 2 - ii cdot -i-i = (2)(-i) - i(-i)i(-i) = -2i + i^2-i^2
Sabendo que i^2 = -1 :
z = -2i - 11 = -2i - 1 = 1 + 2i

Resposta

z = 1 + 2i

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