Sejam A=(ai j)m times n e X=[x1 cdots xn]^T. Mostre que A X=sumj=1^n xj cdot Cj(A), onde Cj(A) denota a j-ésima coluna de A. Use essa fórmula para calcular o produto
[lll 1 & 3 & 0 2 & 5 & 1 1 & 0 & 2 ] cdot[r 2 0 -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o produto de uma matriz A por um vetor X pode ser escrito como a soma das colunas de A multiplicadas pelos respectivos elementos de X . Depois disso, vamos aplicar essa ideia para calcular um produto específico de matriz e vetor. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes por vetores e como as colunas da matriz entram nessa multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de uma matriz por um vetor. Se você tem uma matriz A de tamanho m times n e um vetor X de tamanho n times 1 , o produto A X será um vetor de tamanho m times 1 . Cada elemento desse vetor resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de A com os elementos de X .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que A X = sumj=1^n xj cdot Cj(A) , onde Cj(A) é a j -ésima coluna da matriz A . Isso significa que podemos pegar cada coluna de A , multiplicar pelo elemento correspondente de X , e depois somar tudo.

Passo 4

Vamos ilustrar isso com um exemplo. Dada a matriz:
A = 1 & 3 & 0 2 & 5 & 1 1 & 0 & 2
e o vetor:
X = 2 0 -1
Queremos calcular A X usando a fórmula que mostramos.

Passo 5

Primeiro, identifiquemos as colunas de A :
C1(A) = 1 2 1 , C2(A) = 3 5 0 , C3(A) = 0 1 2
Agora, vamos multiplicar cada coluna pelo respectivo elemento de X :
x1 cdot C1(A) = 2 cdot 1 2 1 = 2 4 2
x2 cdot C2(A) = 0 cdot 3 5 0 = 0 0 0
x3 cdot C3(A) = (-1) cdot 0 1 2 = 0 -1 -2

Passo 6

Agora, vamos somar esses três vetores:
2 4 2 + 0 0 0 + 0 -1 -2 = 2 + 0 + 0 4 + 0 + (-1) 2 + 0 + (-2) = 2 3 0

Resposta

O produto A X é igual a:
A X = 2 3 0

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