Sejam e . Mostre que , onde denota a -ésima coluna de . Use essa fórmula para calcular o produto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que o produto de uma matriz A por um vetor X pode ser escrito como a soma das colunas de A multiplicadas pelos respectivos elementos de X . Depois disso, vamos aplicar essa ideia para calcular um produto específico de matriz e vetor. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes por vetores e como as colunas da matriz entram nessa multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de uma matriz por um vetor. Se você tem uma matriz A de tamanho m times n e um vetor X de tamanho n times 1 , o produto A X será um vetor de tamanho m times 1 . Cada elemento desse vetor resultante é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas de A com os elementos de X .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que A X = sumj=1^n xj cdot Cj(A) , onde Cj(A) é a j -ésima coluna da matriz A . Isso significa que podemos pegar cada coluna de A , multiplicar pelo elemento correspondente de X , e depois somar tudo.
Passo 4
Vamos ilustrar isso com um exemplo. Dada a matriz:
A = 1 & 3 & 0 2 & 5 & 1 1 & 0 & 2
e o vetor:
X = 2 0 -1
Queremos calcular A X usando a fórmula que mostramos.
Passo 5
Primeiro, identifiquemos as colunas de A :
C1(A) = 1 2 1 , C2(A) = 3 5 0 , C3(A) = 0 1 2
Agora, vamos multiplicar cada coluna pelo respectivo elemento de X :