Escreva w=(1,-8) como combinação linear de u=(3,0) e v=(5,2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para escrever o vetor w = (1, -8) como uma combinação linear dos vetores u = (3, 0) e v = (5, 2) . Isso faz parte do estudo de álgebra linear, onde trabalhamos com vetores e suas combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Combinação linear de vetores envolve multiplicar cada vetor por um escalar (um número) e depois somar os resultados. No nosso caso, queremos encontrar números a e b tais que:
w = a cdot u + b cdot v
Substituindo os valores dos vetores, temos:
(1, -8) = a cdot (3, 0) + b cdot (5, 2)

Passo 3

Agora, vamos calcular a combinação linear:
a cdot (3, 0) = (3a, 0)
b cdot (5, 2) = (5b, 2b)
Somando essas duas expressões:
(3a + 5b, 0 + 2b) = (1, -8)
Isso nos dá um sistema de equações:
3a + 5b = 1 0 + 2b = -8

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Começamos pela segunda equação, que é mais simples:
2b = -8 b = -82 b = -4

Passo 5

Com o valor de b , substituímos na primeira equação para encontrar a :
3a + 5(-4) = 1 3a - 20 = 1 3a = 1 + 20 3a = 21 a = 213 a = 7

Resposta

Portanto, o vetor w = (1, -8) pode ser escrito como combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = 7 cdot u - 4 cdot v

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