Mostre que a matriz M=[ll1 & 1 a & b] é um zero do polinômio f(x)=x^2-(b+1) x+(b-a), quaisquer que sejam a, b in R.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá uma matriz M = 1 & 1 a & b e um polinômio f(x) = x^2 - (b+1)x + (b-a) . A tarefa é mostrar que, quando a gente substitui M no lugar de x no polinômio, o resultado é a matriz zero, ou seja, f(M) = 0 . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular potências de matrizes e como aplicar operações polinomiais em matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular M^2 . Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então:
M^2 = M times M = 1 & 1 a & b times 1 & 1 a & b
Vamos fazer cada elemento da nova matriz:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
    1 times 1 + 1 times a = 1 + a
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
    1 times 1 + 1 times b = 1 + b
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
    a times 1 + b times a = a + ab
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
    a times 1 + b times b = a + b^2
Então, temos:
M^2 = 1 + a & 1 + b a + ab & a + b^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o termo (b+1)M . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz M por (b+1) :
(b+1)M = (b+1) times 1 & 1 a & b = (b+1) times 1 & (b+1) times 1 (b+1) times a & (b+1) times b = b+1 & b+1 a(b+1) & b(b+1)

Passo 4

Também precisamos calcular o termo constante (b - a)I , onde I é a matriz identidade 2x2. A matriz identidade é:
I = 1 & 0 0 & 1
Então,
(b - a)I = (b - a) times 1 & 0 0 & 1 = b - a & 0 0 & b - a

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para calcular f(M) = M^2 - (b+1)M + (b - a)I :
f(M) = 1 + a & 1 + b a + ab & a + b^2 - b+1 & b+1 a(b+1) & b(b+1) + b - a & 0 0 & b - a
Vamos fazer a subtração e adição elemento a elemento:
  • [1,1]: (1 + a) - (b + 1) + (b - a) = 1 + a - b - 1 + b - a = 0
  • [1,2]: (1 + b) - (b + 1) + 0 = 1 + b - b - 1 = 0
  • [2,1]: (a + ab) - a(b + 1) + 0 = a + ab - ab - a = 0
  • [2,2]: (a + b^2) - b(b + 1) + (b - a) = a + b^2 - b^2 - b + b - a = 0

Resposta

Depois de calcular tudo, encontramos que f(M) resulta na matriz zero:
f(M) = 0 & 0 0 & 0
Logo, a matriz M é realmente um zero do polinômio f(x) = x^2 - (b+1)x + (b - a) .

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