Mostre que a matriz é um zero do polinômio , quaisquer que sejam .
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos dá uma matriz e um polinômio . A tarefa é mostrar que, quando a gente substitui no lugar de no polinômio, o resultado é a matriz zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular potências de matrizes e como aplicar operações polinomiais em matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda. Então:
Vamos fazer cada elemento da nova matriz:
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o termo . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz por :
Passo 4
Também precisamos calcular o termo constante , onde é a matriz identidade 2x2. A matriz identidade é:
Então,
(b - a)I = (b - a) times 1 & 0 0 & 1 = b - a & 0 0 & b - a