Estude a posição relativa da reta r e do plano pi nos seguintes casos:
r:lx-y=1 x-2 y=0 pi: x+y=2

Passo 1

O enunciado dá a reta r como interseção dos planos
x - y = 1,
x - 2y = 0,
e o plano picolon x + y = 2. O objetivo é decidir se r está contida em pi, se cruza pi ou se é paralela a pi. Vamos precisar achar um ponto e o vetor diretor de r e o vetor normal de pi, e depois analisar o produto escalar e verificar se algum ponto de r satisfaz a equação de pi.

Passo 2

Resolver o sistema para achar forma paramétrica de r. De x - 2y = 0 vem x = 2y. Substituindo em x - y = 1 obtemos
2y - y = 1 ;Longrightarrow; y = 1, x = 2
A variável z fica livre, digamos z = t. Assim
rcolon (x,y,z) = (2,1,t), tinR,
e o vetor diretor é
vec v = (0,0,1)
O vetor normal de pi é
vec n = (1,1,0)
Como
vec n cdot vec v = 1cdot0 + 1cdot0 + 0cdot1 = 0,
concluímos que r é paralelo a pi.

Passo 3

Para ver se r está contida em pi ou se é apenas paralela sem interceptar, testamos um ponto de r, por exemplo (2,1,0), na equação de pi:
x+y = 2 + 1 = 3 neq 2
Logo nenhum ponto de r satisfaz x + y = 2, ou seja, r não intercepta pi.

Resposta

A reta r é paralela ao plano pi e não o intercepta.

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