Encontre um conjunto de geradores para cada um dos espaços vetoriais abaixo
V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x-y=0, x+t=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores (ou seja, um sistema de vetores cujo span seja todo o subespaço) para
V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-y=0,\;x+z=0\}.
O conteúdo é resolução de um sistema linear homogêneo e parametrização das soluções para expressar V como span de vetores.

Passo 2

Reescrevendo as equações em forma explícita:
\begin{cases} x - y = 0 \implies y = x,\\\ x + z = 0 \implies z = -\,x. \end{cases}

Passo 3

Como só há duas restrições em três incógnitas, escolhemos x como parâmetro livre, digamos t=x. Então
(x,y,z) = (t,\;t,\;-t) = t\,(1,1,-1),
com t\in\mathbb{R}.

Resposta

Um conjunto de geradores de V é \{(1,1,-1)\}.

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