Determine o vetor unitário tangente T(t) no ponto determinado pelo parâmetro t, dado:
f(t)=(t e^-t, 3 arctan t, 2 e^t), t=0

Passo 1

O enunciado pede o vetor unitário tangente T(t) à curva
f(t)=l(t e^-t,,3arctan t,,2e^tr)
no ponto correspondente a t=0.
Conteúdo necessário: cálculo de derivada vetorial, norma de um vetor e normalização (dividir pelo seu módulo).

Passo 2

Calculamos a derivada vetorial f'(t). Para cada componente:
  • x(t)=t e^-t, então x'(t)=e^-t-t e^-t (regra do produto).
  • y(t)=3arctan t, então y'(t)=31+t^2 (derivada de arctan t).
  • z(t)=2e^t, então z'(t)=2e^t
Portanto,
f'(t)=l(e^-t-t e^-t,,tfrac31+t^2,,2e^tr)

Passo 3

Avaliamo-s em t=0:
f'(0)=l(e^0-0cdot e^0,,tfrac31+0^2,,2e^0r) =(1,,3,,2)
Em seguida, calculamos a norma:
|f'(0)|=raiz1^2+3^2+2^2 =raiz1+9+4 =raiz14

Passo 4

O vetor unitário tangente é
T(0)=f'(0)|f'(0)| =l(1raiz14,,3raiz14,,2raiz14r)

Resposta

T(0)=l(tfrac1raiz14,,tfrac3raiz14,,tfrac2raiz14r)

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