Determine um vetor v tal que |v|=10 e de modo que ele tenha a mesma direção e sentido contrário a u=(-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa trabalhar com vetores, especificamente com magnitude (ou comprimento) e direção. O enunciado pede para encontrar um vetor v que tenha comprimento igual a 10 e que seja na direção oposta ao vetor u = (-1, 2). Para isso, vamos utilizar conceitos de normalização de vetores e escalonamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a mesma direção mas sentido contrário. Se dois vetores têm a mesma direção, eles são paralelos. Se um tem sentido contrário, ele aponta exatamente para o lado oposto do outro. Então, para achar v, precisamos que ele aponte na direção oposta de u.

Passo 3

Para encontrar a direção oposta de u, vamos primeiro encontrar o vetor unitário de u. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1 e mantém a mesma direção do vetor original. A fórmula para o vetor unitário u é:
u = u|u|

Passo 4

Vamos calcular a magnitude de u. A magnitude de um vetor u = (ux, uy) é dada por:
|u| = raizux^2 + uy^2
Substituindo os valores de u:
|u| = raiz(-1)^2 + (2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 5

Agora, encontramos o vetor unitário u:
u = u|u| = (-1, 2)raiz5 = ( -1raiz5, 2raiz5 )

Passo 6

Como queremos a direção oposta, basta multiplicar o vetor unitário por -1:
uoposto = -u = ( 1raiz5, -2raiz5 )

Passo 7

Agora que temos a direção correta, vamos ajustar a magnitude para que seja igual a 10. Para isso, multiplicamos o vetor unitário pela magnitude desejada:
v = 10 times uoposto = 10 times ( 1raiz5, -2raiz5 ) = ( 10raiz5, -20raiz5 )

Passo 8

Podemos simplificar as frações multiplicando numerador e denominador por raiz5:
v = ( 10raiz55, -20raiz55 ) = ( 2raiz5, -4raiz5 )

Resposta

O vetor v que satisfaz as condições é v = ( 2raiz5, -4raiz5 ).

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