Determine um vetor
tal que
e de modo que ele tenha a mesma direção e sentido contrário a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa trabalhar com vetores, especificamente com magnitude (ou comprimento) e direção. O enunciado pede para encontrar um vetor
que tenha comprimento igual a 10 e que seja na direção oposta ao vetor
. Para isso, vamos utilizar conceitos de normalização de vetores e escalonamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter a mesma direção mas sentido contrário. Se dois vetores têm a mesma direção, eles são paralelos. Se um tem sentido contrário, ele aponta exatamente para o lado oposto do outro. Então, para achar
, precisamos que ele aponte na direção oposta de
.
Passo 3
Para encontrar a direção oposta de
, vamos primeiro encontrar o vetor unitário de
. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1 e mantém a mesma direção do vetor original. A fórmula para o vetor unitário
é:
Passo 4
Vamos calcular a magnitude de
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Substituindo os valores de
:
Passo 5
Agora, encontramos o vetor unitário
:
Passo 6
Como queremos a direção oposta, basta multiplicar o vetor unitário por -1:
Passo 7
Agora que temos a direção correta, vamos ajustar a magnitude para que seja igual a 10. Para isso, multiplicamos o vetor unitário pela magnitude desejada:
Passo 8
Podemos simplificar as frações multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
O vetor
que satisfaz as condições é
.