Exercício 10 Sejam A, B matrizes reais n times n. Mostre que se N(A-B)=R^n, então A=B.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes reais n×n e pede para mostrar que se o núcleo de A−B é todo R^n, então A=B. O conteúdo envolvido é teoria de transformações lineares: núcleo (nullspace) e quando uma transformação é identicamente zero.

Passo 2

Lembrando que o núcleo de uma matriz M, N(M), é o conjunto de vetores x que satisfazem Mx=0. Então N(A−B)=R^n significa que para qualquer x∈R^n temos
(A−B)x=0

Passo 3

Pela teoria de transformações lineares, se T:V→W é linear e ker(T)=V, então T é a transformação zero, ou seja, T(x)=0 para todo x em V faz T equivalente à aplicação que envia tudo a 0. Aqui T(x)=(A−B)x.

Passo 4

Logo, como (A−B)x=0 para todo x em R^n, a matriz A−B representa a aplicação zero. Isso implica que A−B é a matriz zero.

Passo 5

Se A−B é a matriz zero, então A=B.

Resposta

A = B

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