Exercício 10 Sejam
matrizes reais
. Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que A e B são matrizes reais n×n e pede para mostrar que se o núcleo de A−B é todo R^n, então A=B. O conteúdo envolvido é teoria de transformações lineares: núcleo (nullspace) e quando uma transformação é identicamente zero.
Passo 2
Lembrando que o núcleo de uma matriz M, N(M), é o conjunto de vetores x que satisfazem Mx=0. Então N(A−B)=R^n significa que para qualquer x∈R^n temos
Passo 3
Pela teoria de transformações lineares, se T:V→W é linear e ker(T)=V, então T é a transformação zero, ou seja, T(x)=0 para todo x em V faz T equivalente à aplicação que envia tudo a 0. Aqui T(x)=(A−B)x.
Passo 4
Logo, como (A−B)x=0 para todo x em R^n, a matriz A−B representa a aplicação zero. Isso implica que A−B é a matriz zero.
Passo 5
Se A−B é a matriz zero, então A=B.
Resposta
A = B