Determine se os vetores dados são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI) no espaço dado.
u=(1,2,-1), v=(2,1,-1) e w=(2,2,-4) em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
u=(1,2,-1), v=(2,1,-1) e w=(2,2,-4)
são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI) em R^3.
O conteúdo aqui é independência linear: formamos a combinação
c1u + c2v + c3w = 0
e vemos se a única solução é c1=c2=c3=0. Uma maneira prática em R^3 é usar o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz A com colunas u,v,w:
A = 1 & 2 & 2 2 & 1 & 2 -1 & -1 & -4
Se det(A)neq 0, então as colunas são LI.

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão da primeira linha:
det(A) = 1cdot 1 & 2-1 & -4 -2cdot 2 & 2-1 & -4 +2cdot 2 & 1-1 & -1
Agora cada menor:
1 & 2-1 & -4 =1cdot(-4)-2cdot(-1)=-4+2=-2,
2 & 2-1 & -4 =2cdot(-4)-2cdot(-1)=-8+2=-6,
2 & 1-1 & -1 =2cdot(-1)-1cdot(-1)=-2+1=-1
Substituindo:
det(A)=1cdot(-2)-2cdot(-6)+2cdot(-1) =-2+12-2=8

Passo 4

Como det(A)=8neq0, a única solução de
,c1u+c2v+c3w=0,
é c1=c2=c3=0.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes (LI) em R^3.

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