Mostre que os seguintes subconjuntos de R^2 não são subespaços. Mostre, através de exemplos, que pelo menos um dos axiomas da definição de subespaço vetorial falha para estes subconjuntos.
W=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1 (círculo de centro na origem e raio igual a 1 ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = (x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 <= 1
não é subespaço de R^2.
Para isso basta verificar que algum dos três axiomas de subespaço falha, em geral:
  1. O vetor zero pertence a W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro que o vetor zero está em W. De fato,
(0,0)in W pois 0^2 + 0^2 = 0 <= 1
Logo o axioma do vetor nulo é satisfeito.

Passo 3

Agora testamos a fechamento sob adição. Tomemos os vetores
u = (1,0) e v = (0,1)
Claramente |u|^2 = 1^2+0^2 = 1<=1 e |v|^2 = 0^2+1^2 = 1<=1, ou seja, u,vin W.
Porém
u+v = (1,1) e |u+v|^2 = 1^2 + 1^2 = 2 > 1,
logo (1,1)notin W. Isso mostra que W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^2 porque falha o axioma de fechamento sob adição (por exemplo, (1,0),(0,1)in W mas (1,1)notin W).

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