Responda verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique a sua resposta:
Se a dimensão de um espaço vetorial é n, é possível encontrar um subconjunto L. I. com mais de n elementos.

Passo 1

O enunciado pergunta se, num espaço vetorial V de dimensão n, é possível existir um subconjunto linearmente independente (L.I.) com mais de n elementos. O conteúdo é álgebra linear, mais precisamente as noções de dimensão, base e independência linear.

Passo 2

Por definição, a dimensão de V, dim(V)=n, é o número de vetores de qualquer base de V. Uma base é um conjunto de vetores que é simultaneamente L.I. e gerador de V.

Passo 3

Usamos o teorema do elemento de troca (ou lema de Steinitz), que diz: se S é um conjunto L.I. e B é uma base de V, então lvert Srvert<= lvert Brvert. Como lvert Brvert=n, todo conjunto L.I. em V tem no máximo n vetores.

Passo 4

Logo, NÃO é possível encontrar um subconjunto L.I. com mais de n elementos, pois isto violaria o lema de Steinitz.

Resposta

F (Falso), pois em um espaço de dimensão n todo conjunto linearmente independente possui no máximo n vetores.

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