Responda verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique a sua resposta:
Se a dimensão de um espaço vetorial é
, é possível encontrar um subconjunto L. I. com mais de
elementos.
Se a dimensão de um espaço vetorial é
Passo 1
O enunciado pergunta se, num espaço vetorial
de dimensão
, é possível existir um subconjunto linearmente independente (L.I.) com mais de
elementos. O conteúdo é álgebra linear, mais precisamente as noções de dimensão, base e independência linear.
Passo 2
Por definição, a dimensão de
,
, é o número de vetores de qualquer base de
. Uma base é um conjunto de vetores que é simultaneamente L.I. e gerador de
.
Passo 3
Usamos o teorema do elemento de troca (ou lema de Steinitz), que diz: se
é um conjunto L.I. e
é uma base de
, então
. Como
, todo conjunto L.I. em
tem no máximo
vetores.
Passo 4
Logo, NÃO é possível encontrar um subconjunto L.I. com mais de
elementos, pois isto violaria o lema de Steinitz.
Resposta
F (Falso), pois em um espaço de dimensão
todo conjunto linearmente independente possui no máximo
vetores.