Responda verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique a sua resposta:
Se a dimensão de um espaço vetorial é n, é possível encontrar um subconjunto gerador com mais de n elementos.

Passo 1

O enunciado pergunta se, num espaço vetorial de dimensão n, podemos ter um subconjunto gerador com mais de n vetores. Vamos lembrar que dimensão é o número de vetores de uma base e que um subconjunto gerador é aquele cujas combinações lineares preenchem todo o espaço.

Passo 2

Por definição, uma base de um espaço vetorial V de dimensão n é um conjunto v1,dots,vn de n vetores que gera V e é linearmente independente. Portanto, qualquer conjunto que gere V deve ter pelo menos n vetores, pois se tivesse menos não conseguiria ser gerador.

Passo 3

Entretanto, não há impedimento em acrescentar vetores adicionais a um conjunto gerador: se G gera V, então todo superset de G também gera V. Em particular, tomando uma base v1,dots,vn e escolhendo algum vetor uin V, o conjunto
,v1,dots,vn,u
tem n+1 vetores e continua gerando V, embora seja linearmente dependente.

Resposta

Verdadeiro.

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