Responda verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique a sua resposta:
Se a dimensão de um espaço vetorial é
, é possível encontrar um subconjunto gerador com mais de
elementos.
Se a dimensão de um espaço vetorial é
Passo 1
O enunciado pergunta se, num espaço vetorial de dimensão
, podemos ter um subconjunto gerador com mais de
vetores. Vamos lembrar que dimensão é o número de vetores de uma base e que um subconjunto gerador é aquele cujas combinações lineares preenchem todo o espaço.
Passo 2
Por definição, uma base de um espaço vetorial
de dimensão
é um conjunto
de
vetores que gera
e é linearmente independente. Portanto, qualquer conjunto que gere
deve ter pelo menos
vetores, pois se tivesse menos não conseguiria ser gerador.
Passo 3
Entretanto, não há impedimento em acrescentar vetores adicionais a um conjunto gerador: se
gera
, então todo superset de
também gera
. Em particular, tomando uma base
e escolhendo algum vetor
, o conjunto
tem
vetores e continua gerando
, embora seja linearmente dependente.
Resposta
Verdadeiro.