Determine se os vetores dados são ou não linearmente independentes
(iv) A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 0\end{array}\right] ; \quad B=\left[\begin{array}{cc}-1 & -3 \\\\ -2 & 0\end{array}\right] em \mathcal{M}_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[6pt] 2 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}-1 & -3 \\[6pt] -2 & 0\end{pmatrix}
em \mathcal{M}_{2\times2} são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: mostramos que qualquer combinação
\alpha A + \beta B = 0
implica \alpha = \beta = 0. Se existir solução não trivial, são dependentes.]

Passo 2

Escrevemos a combinação geral e igualamos à matriz nula:
\alpha \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}-1 & -3 \\\\ -2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema de equações pelas entradas:
\begin{cases} \alpha\cdot 1 + \beta\cdot(-1) = 0,\\[4pt] \alpha\cdot 3 + \beta\cdot(-3) = 0,\\[4pt] \alpha\cdot 2 + \beta\cdot(-2) = 0,\\[4pt] \alpha\cdot 0 + \beta\cdot 0 = 0. \end{cases}]

Passo 3

Das três primeiras equações temos
\alpha - \beta = 0,\quad 3\alpha - 3\beta = 0,\quad 2\alpha - 2\beta = 0
que todas equivalem a
\alpha - \beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \beta.
A quarta equação é sempre satisfeita.

Passo 4

Como \alpha = \beta, escolhemos por exemplo \alpha = 1 e \beta = 1 para obter
1\cdot A + 1\cdot B = A + B = \begin{pmatrix}1-1 & 3-3 \\\\ 2-2 & 0+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
ou seja, existe combinação não trivial que dá zero. Logo A e B são linearmente dependentes.

Resposta

As matrizes A e B em \mathcal{M}_{2\times2} são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados