Em R^3, o conjunto dos vetores cuja soma das 3 coordenadas é zero, é um espaço vetorial ? E o conjunto dos vetores com terceira coordenada igual a 1 ?

Passo 1

O enunciado pergunta em R^3 se dois conjuntos são espaços vetoriais: (1) o conjunto W1 =(x,y,z): x+y+z=0 e (2) o conjunto W2 =(x,y,z): z=1. Para resolver, a gente vai usar o critério de subespaço vetorial: o conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos analisar W1 =(x,y,z)inR^3: x+y+z=0. Primeiro, o vetor zero (0,0,0) satisfaz 0+0+0=0, então 0in W1. Depois, se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) estão em W1, temos x1+y1+z1=0 e x2+y2+z2=0. Então
(u+v)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) implies (x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2)=0+0=0,
logo u+vin W1. E para escalar lambdainR:
lambda u=(lambda x1,lambda y1,lambda z1) implies lambda x1+lambda y1+lambda z1=lambda(x1+y1+z1)=lambdacdot0=0,
então lambda uin W1. Como as três condições estão satisfeitas, W1 é subespaço vetorial.

Passo 3

Agora W2 =(x,y,z)inR^3: z=1. O vetor zero (0,0,0) não pertence a W2, porque a terceira coordenada dele é 0, e não 1. Isso já basta para concluir que W2 não é um subespaço vetorial.
Alternativamente, a falta de fechamento sob multiplicação escalar também dá negativo: se v=(x,y,1)in W2 e escolhermos lambda=2, então 2v=(2x,2y,2) tem terceira coordenada 2, não 1, logo 2vnotin W2.

Resposta

O conjunto (x,y,z): x+y+z=0 é subespaço vetorial de R^3, e o conjunto (x,y,z): z=1 não é.

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