, o conjunto dos vetores cuja soma das 3 coordenadas é zero, é um espaço vetorial ? E o conjunto dos vetores com terceira coordenada igual a 1 ?
Passo 1
O enunciado pergunta em
se dois conjuntos são espaços vetoriais: (1) o conjunto
e (2) o conjunto
. Para resolver, a gente vai usar o critério de subespaço vetorial: o conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Vamos analisar
. Primeiro, o vetor zero
satisfaz
, então
. Depois, se
e
estão em
, temos
e
. Então
logo
então
. Como as três condições estão satisfeitas,
é subespaço vetorial.
Passo 3
Agora
. O vetor zero
não pertence a
, porque a terceira coordenada dele é 0, e não 1. Isso já basta para concluir que
não é um subespaço vetorial.
Alternativamente, a falta de fechamento sob multiplicação escalar também dá negativo: se e escolhermos
, então
tem terceira coordenada 2, não 1, logo
.
Alternativamente, a falta de fechamento sob multiplicação escalar também dá negativo: se
Resposta
O conjunto
é subespaço vetorial de
, e o conjunto
não é.