Mostre que se todo subespaço de V for T-invariante então T=lambda I para algum lambda in K.

Passo 1

O enunciado diz: seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e T:Vto V um operador linear tal que todo subespaço de V é T-invariante. Precisamos mostrar que existe lambdainK com T=lambda I. Vamos usar conceitos de subespaços invariantes e autovalores.

Passo 2

Como todo subespaço de V é T-invariante, em particular, para qualquer vetor não-nulo vin V, o subespaço gerado por v, isto é, spanv, satisfaz
T(spanv)subseteq spanv
Logo, T(v) é múltiplo escalar de v. Assim existe um escalar lambdavinK tal que
T(v)=lambdav,v

Passo 3

Agora peguemos dois vetores v,win V que sejam linearmente independentes. Pelas hipóteses, o subespaço U=spanv+w também é T-invariante. Portanto
T(v+w)=T(v)+T(w)=lambdav v+lambdaw w
deve pertencer a U, ou seja, ser múltiplo de v+w. Mas se
lambdav v+lambdaw w=mu (v+w)
para algum mu, então comparando coordenadas na base v,w (que é independente) obtemos lambdav=lambdaw=mu.

Passo 4

Como v e w eram quaisquer vetores independentes, concluímos que o escalar lambdav na relação T(v)=lambdav v não depende de v. Logo existe um lambdainK tal que para todo vne0
T(v)=lambda v
Para o vetor zero vale a mesma fórmula, pois T(0)=0=lambdacdot0. Portanto
T=lambda IV

Resposta

T=\lambda I

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