Mostre que se todo subespaço de
for
-invariante então
para algum
.
Passo 1
O enunciado diz: seja
um espaço vetorial sobre um corpo
e
um operador linear tal que todo subespaço de
é
-invariante. Precisamos mostrar que existe
com
. Vamos usar conceitos de subespaços invariantes e autovalores.
Passo 2
Como todo subespaço de
é
-invariante, em particular, para qualquer vetor não-nulo
, o subespaço gerado por
, isto é,
, satisfaz
Logo,
é múltiplo escalar de
. Assim existe um escalar
tal que
Passo 3
Agora peguemos dois vetores
que sejam linearmente independentes. Pelas hipóteses, o subespaço
também é
-invariante. Portanto
deve pertencer a
, ou seja, ser múltiplo de
. Mas se
para algum
, então comparando coordenadas na base
(que é independente) obtemos
.
Passo 4
Como
e
eram quaisquer vetores independentes, concluímos que o escalar
na relação
não depende de
. Logo existe um
tal que para todo
Para o vetor zero vale a mesma fórmula, pois
. Portanto
Resposta
T=\lambda I