Usando produto misto, responda:
(a) Os vetores (1,5,-2),(3,-1,0) e (5,9,-4) estão no mesmo plano?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3, a=(1,5,-2), b=(3,-1,0) e c=(5,9,-4), e pede para verificar se eles estão no mesmo plano. Vamos usar o produto misto, pois três vetores são coplanares se, e somente se,
acdot(btimes c)=0

Passo 2

Calcular o produto vetorial btimes c. Pelo determinante de uma matriz 3times3,
btimes c = i & j & k 3 & -1 & 0 5 & 9 & -4 = il((-1)(-4)-0cdot9r) - jl(3cdot(-4)-0cdot5r) + kl(3cdot9 -(-1)cdot5r)

Passo 3

Simplificando cada componente:
(-1)(-4)-0cdot9 = 4, 3cdot(-4)-0cdot5 = -12, 3cdot9 -(-1)cdot5 = 27 + 5 = 32
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btimes c = (4,,12,,32)

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar com a:
acdot(btimes c) = 1cdot4 + 5cdot12 + (-2)cdot32 = 4 + 60 - 64 = 0

Passo 5

Como o produto misto é zero, concluímos que a, b e c são coplanares.

Resposta

Sim, os vetores estão no mesmo plano, pois o produto misto é zero.

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