Escrever o vetor w=(-3,5,3) como combinação linear dos vetores a=(1,2,-1), b=(-2,3,-1) e c=(0,-1,2)
Resp: w=a+2 b+3 c

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor w=(-3,5,3) como combinação linear dos vetores a=(1,2,-1), b=(-2,3,-1) e c=(0,-1,2). Isso faz parte do conteúdo de combinação linear em R^3. Para resolver, vamos supor que existam escalares x,y,z tais que
w = x,a + y,b + z,c,
e então determinar x, y e z resolvendo o sistema linear resultante.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas, temos
x(1,2,-1) + y(-2,3,-1) + z(0,-1,2) = (-3,5,3)
Isso gera o sistema
x - 2y + 0z = -3, 2x + 3y - z = 5, -,x - y + 2z = 3

Passo 3

Resolvendo o sistema por eliminação:
  1. Da primeira equação vem x = 2y - 3
  2. Substituindo em 2x+3y - z =5: 2(2y-3) + 3y - z = 5 Longrightarrow 4y -6 +3y - z =5 Longrightarrow z = 7y -11
  3. Substituindo x=2y-3 e z=7y-11 na terceira equação -x - y +2z =3: -,(2y-3) - y + 2(7y-11) = 3 Longrightarrow -2y +3 - y +14y -22 =3 Longrightarrow 11y -19 =3 Longrightarrow 11y =22 Longrightarrow y = 2
  4. Logo, x = 2cdot2 -3 = 1, z = 7cdot2 -11 = 3

Passo 4

Encontramos x=1, y=2 e z=3. Portanto,
w = 1,a + 2,b + 3,c

Resposta

w = a + 2b + 3c

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