Determine se os vetores são LI ou LD no espaço vetorial P2 :
S=7-3 x+4 x^2, 6+2 x-x^2, 1-8 x+5 x^2

Passo 1

O enunciado fornece os polinômios
p1(x)=7-3x+4x^2, p2(x)=6+2x-x^2, p3(x)=1-8x+5x^2
e pede para verificar se o conjunto S=p1,p2,p3 é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) em P2. O método é montar a combinação linear nula e igualar coeficientes para obter um sistema homogêneo.

Passo 2

Considere
c1,p1(x)+c2,p2(x)+c3,p3(x)=0para todo x
Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, obtemos o sistema
4c1-c2+5c3=0,[6pt] -3c1+2c2-8c3=0,[6pt] 7c1+6c2+c3=0
]

Passo 3

Da primeira equação vem
c2=4c1+5c3
Substituindo em cada uma das outras:
– Na segunda:
-3c1+2(4c1+5c3)-8c3=0 Longrightarrow 5c1+2c3=0 Longrightarrow c1=-tfrac25c3
– Na terceira:
7c1+6(4c1+5c3)+c3=0 Longrightarrow 31c1+31c3=0 Longrightarrow c1=-c3
As duas expressões para c1 só coincidem se c3=0. Então c1=0 e c2=0, ou seja, a única solução é trivial.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

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