Exercício 3 Considere o subespaço
de
. Encontre um subespaço
de modo que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos o subespaço
e pede um outro subespaço
tal que
Matéria: soma direta de subespaços, bases e dimensões. Vamos usar que
significa (i) toda vetor em
se escreve como soma única de algo em
e algo em
, e (ii)
. Para achar
a ideia é pegar uma base de
e completar para base de
.
Passo 2
Primeiro, entender
. Como todo vetor em
tem a forma
uma base de
é
Logo
.
Passo 3
Para completar a base de
, precisamos de mais 2 vetores que não sejam combinação linear de
. Um truque é pegar vetores que “quebrem” a igualdade de coordenadas de
, por exemplo
Dá para checar que
é LI e gera
.
Passo 4
Definimos então
A interseção
é só o vetor zero, porque se
então
e
implicam
e
; idem para
. Logo a soma é direta e tem dimensão
.