Exercício 3 Considere o subespaço W1=(x, x, y, y) in R^4 mid x, y in R de R^4. Encontre um subespaço W2 de modo que R^4=W1 oplus W2.

Passo 1

O enunciado diz que temos o subespaço
W1=(x,x,y,y)inR^4mid x,yinR
e pede um outro subespaço W2 tal que
R^4=W1oplus W2
Matéria: soma direta de subespaços, bases e dimensões. Vamos usar que W1oplus W2 significa (i) toda vetor em R^4 se escreve como soma única de algo em W1 e algo em W2, e (ii) W1cap W2=0. Para achar W2 a ideia é pegar uma base de W1 e completar para base de R^4.

Passo 2

Primeiro, entender W1. Como todo vetor em W1 tem a forma
(x,x,y,y)=x,(1,1,0,0)+y,(0,0,1,1),
uma base de W1 é
v1=(1,1,0,0), v2=(0,0,1,1)
Logo dim W1=2.

Passo 3

Para completar a base de R^4, precisamos de mais 2 vetores que não sejam combinação linear de v1,v2. Um truque é pegar vetores que “quebrem” a igualdade de coordenadas de W1, por exemplo
v3=(1,-1,0,0), v4=(0,0,1,-1)
Dá para checar que v1,v2,v3,v4 é LI e gera R^4.

Passo 4

Definimos então
W2=spanv3,v4 =,a(1,-1,0,0)+b(0,0,1,-1)mid a,binR
A interseção W1cap W2 é só o vetor zero, porque se
(x,x,y,y)=(a,-a,b,-b)
então x=a e x=-a implicam a=0 e x=0; idem para y. Logo a soma é direta e tem dimensão 2+2=4.

Resposta

W2 ;=;span(1,-1,0,0),,(0,0,1,-1) ;=;(a,-a,b,-b)inR^4mid a,binR

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