Verifique que o vetor X é uma solução do sistema dado.
X^prime=(cc2 & 1 -1 & 0) X ; X=binom13 e^t+binom4-4 t e^t

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de 1ª ordem
vec X' = 2 & 1 -1 & 0vec X
e a função candidata
vec X(t) = binom13e^t ;+;binom4-4,t,e^t
Para verificar que é solução, vamos calcular de um lado vec X'(t) e do outro A,vec X(t), onde
A = 2 & 1 -1 & 0,
e mostrar que são iguais.

Passo 2

Calcular vec X'(t) pelo produto de funções. Temos
vec X(t)=underbracebinom13e^tvec u(t)+underbracebinom4-4,t,e^tvec v(t)
Então
vec u'(t)=binom13e^t,
e, usando regra do produto em vec v(t),
ddtl(t e^tr)=e^t + t e^t,
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vec v'(t)=binom4-4l(e^t + t e^tr) =binom4-4e^t + binom4-4t e^t
Somando,
vec X'(t) =vec u'(t)+vec v'(t) =binom13e^t + binom4-4e^t + binom4-4t e^t =binom5-1e^t + binom4-4t e^t

Passo 3

Calcular A,vec X(t). Se vec X(t)=l(x1(t),x2(t)r)^T, temos
x1(t)=e^t+4t e^t, x2(t)=3e^t-4t e^t
Então
A,vec X(t) =2&1-1&0 binomx1x2 =binom2x1+x2-,x1 =binom2(e^t+4t e^t)+(3e^t-4t e^t)-(e^t+4t e^t)
Simplificando,
2x1+x2=2e^t+8t e^t+3e^t-4t e^t=5e^t+4t e^t, -,x1=-e^t-4t e^t,
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A,vec X(t) =binom5-1e^t + binom4-4t e^t

Passo 4

Comparando os resultados:
vec X'(t)=binom5-1e^t + binom4-4t e^t e A,vec X(t)=binom5-1e^t + binom4-4t e^t,
vemos que vec X'(t)=A,vec X(t) para todo t.

Resposta

O vetor vec X(t)=binom13e^t+binom4-4t e^t satisfaz vec X'(t)=A,vec X(t) e, portanto, é solução do sistema dado.

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