Determine se os vetores a seguir são coplanares. Caso sejam, escreva um deles como combinação linear dos outros dois.
U=(1,1,-14), V=(0,2, 12), W= (2,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber se três vetores são coplanares. Isso cai dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem coplanares e como verificar isso usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem coplanares. Três vetores são coplanares se eles estiverem todos no mesmo plano, ou seja, se não formarem um “voluminho” no espaço. Matematicamente, isso acontece quando o determinante da matriz formada por esses vetores é igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz com os vetores dados:
1 & 0 & 2 1 & 2 & 0 -14 & 12 & -1
Para verificar se os vetores são coplanares, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Vamos calcular o determinante passo a passo:
det = 1 times (2 times (-1) - 0 times 12) - 0 times (1 times (-1) - 0 times (-14)) + 2 times (1 times 12 - 2 times (-14))
Simplificando:
det = 1 times (-2 - 0) - 0 times (-1 - 0) + 2 times (12 + 12) = -2 + 0 + 2 times 1 = -2 + 2 = 0

Passo 5

Como o determinante é zero, os vetores são coplanares. Agora, vamos escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois. Vamos escolher [\vec{W}) para expressar em função de e :
Substituindo os valores dos vetores:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo:
  • Da primeira equação, , temos , então .
    - Verificando na terceira equação: , confirma.

Resposta

Sim, os vetores são coplanares. Podemos escrever W como combinação linear dos outros dois vetores:
W = 2U - V

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