Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t) das curvas dadas abaixo. Determine a curvatura das seguintes curvas dadas abaixo.
\alpha(t)=\left(t, t^{4}\right), \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha(t)=\left(t,t^{4}\right) para t\in\mathbb{R} e pede duas coisas:
  • Determinar o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t).
  • Determinar o vetor normal unitário \mathbf{N}(t).
  • Determinar a curvatura \kappa(t).
Informações fornecidas que usarei diretamente:
  • As componentes da curva são x(t)=t e y(t)=t^{4}.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade (derivada) da curva e a sua norma, porque isso é o passo inicial para obter \mathbf{T}(t).
Definição que vou usar (explicada): a velocidade é \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)). A norma da velocidade (ou rapidez) é \left\|\alpha'(t)\right\|=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}. O vetor tangente unitário é a direção da velocidade normalizada:
\mathbf{T}(t)=\frac{\alpha'(t)}{\left\|\alpha'(t)\right\|}.
Calcule as derivadas das componentes:
x'(t)=\frac{d}{dt}(t)=1,\qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(t^{4})=4t^{3}.
Portanto a velocidade é
\alpha'(t)=\bigl(1,\,4t^{3}\bigr).
A norma da velocidade é
\left\|\alpha'(t)\right\|=\sqrt{1^{2}+(4t^{3})^{2}}=\sqrt{1+16t^{6}}.

Passo 3

Agora formamos o vetor tangente unitário dividindo componente a componente pela norma. Lembrete: ao normalizar, cada componente é dividida pela mesma norma.
Logo
\mathbf{T}(t)=\frac{\alpha'(t)}{\left\|\alpha'(t)\right\|} =\left(\frac{1}{\sqrt{1+16t^{6}}},\,\frac{4t^{3}}{\sqrt{1+16t^{6}}}\right).
Vou comentar didaticamente: \mathbf{T}(t) tem norma 1 por construção, e aponta na direção do movimento da curva. Para checar, calcule \left\|\mathbf{T}(t)\right\|=\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{1+16t^{6}}}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{4t^{3}}{\sqrt{1+16t^{6}}}\bigr)^{2}}=1.

Passo 4

Para obter a curvatura \kappa(t) de uma curva plana dada por \alpha(t)=(x(t),y(t)) (parametrização qualquer), existe uma fórmula prática:
\kappa(t)=\frac{\left|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\right|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Explicando as variáveis: x',y' são as primeiras derivadas, x'',y'' são as segundas derivadas; o numerador é o módulo do determinante formado por \alpha' e \alpha'', que mede a taxa de variação da direção, e o denominador normaliza pela rapidez ao cubo.
Calcule as segundas derivadas:
x''(t)=0,\qquad y''(t)=\frac{d}{dt}(4t^{3})=12t^{2}.
Agora aplique a fórmula:
x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)=1\cdot 12t^{2}-4t^{3}\cdot 0=12t^{2}.
Como 12t^{2}\ge 0, o módulo é 12t^{2}. O denominador é \bigl(1+16t^{6}\bigr)^{3/2}. Portanto
\kappa(t)=\frac{12t^{2}}{\bigl(1+16t^{6}\bigr)^{3/2}}.
Comentário útil: em t=0 temos \kappa(0)=0, o que faz sentido — a curva tem segunda derivada nula ali e localmente se parece com uma reta.

Passo 5

Agora precisamos do vetor normal unitário \mathbf{N}(t). Definição que vou usar: o vetor normal unitário é a direção de variação do vetor tangente unitário; isto é
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\left\|\mathbf{T}'(t)\right\|},
desde que \mathbf{T}'(t)\neq 0. Outra relação útil que conecta curvatura e derivada de \mathbf{T} é
\left\|\mathbf{T}'(t)\right\|=\kappa(t)\,\left\|\alpha'(t)\right\|.
Vou calcular \mathbf{T}'(t) explicitamente para obter uma expressão clara para \mathbf{N}(t).
Recordando \mathbf{T}(t)=\bigl( (1+16t^{6})^{-1/2},\,4t^{3}(1+16t^{6})^{-1/2}\bigr), calcule derivadas componente a componente.
Derivada da primeira componente:
\frac{d}{dt}\bigl( (1+16t^{6})^{-1/2}\bigr) = -\tfrac{1}{2}(1+16t^{6})^{-3/2}\cdot 96t^{5} = -48t^{5}(1+16t^{6})^{-3/2}.
Derivada da segunda componente (uso regra do produto):
\frac{d}{dt}\bigl(4t^{3}(1+16t^{6})^{-1/2}\bigr) =12t^{2}(1+16t^{6})^{-1/2} +4t^{3}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}(1+16t^{6})^{-3/2}\cdot 96t^{5}\bigr).
Simplificando o segundo termo:
4t^{3}\cdot\bigl(-48t^{5}(1+16t^{6})^{-3/2}\bigr)=-192t^{8}(1+16t^{6})^{-3/2}.
Somando com o primeiro termo e fatorando (1+16t^{6})^{-3/2} obtém-se
\frac{d}{dt}\bigl(4t^{3}(1+16t^{6})^{-1/2}\bigr) =(1+16t^{6})^{-3/2}\bigl(12t^{2}(1+16t^{6})-192t^{8}\bigr).
Como 12t^{2}(1+16t^{6})=12t^{2}+192t^{8}, o resultado simplifica para
12t^{2}(1+16t^{6})^{-3/2}.
Portanto
\mathbf{T}'(t)=\bigl(-48t^{5}(1+16t^{6})^{-3/2},\;12t^{2}(1+16t^{6})^{-3/2}\bigr).
Fatorando 12t^{2}(1+16t^{6})^{-3/2} obtemos
\mathbf{T}'(t)=12t^{2}(1+16t^{6})^{-3/2}\,(-4t^{3},\,1).
A norma de \mathbf{T}'(t) é
\left\|\mathbf{T}'(t)\right\| =12t^{2}(1+16t^{6})^{-3/2}\sqrt{(-4t^{3})^{2}+1^{2}} =12t^{2}(1+16t^{6})^{-3/2}\sqrt{1+16t^{6}}.
Simplificando a potência de 1+16t^{6},
\left\|\mathbf{T}'(t)\right\|= \frac{12t^{2}}{1+16t^{6}}.
Isso coincide com \kappa(t)\left\|\alpha'(t)\right\|, porque \kappa(t)=\dfrac{12t^{2}}{(1+16t^{6})^{3/2}} e \left\|\alpha'(t)\right\|=\sqrt{1+16t^{6}}.
Agora a normal unitária é \mathbf{N}(t)=\dfrac{\mathbf{T}'(t)}{\left\|\mathbf{T}'(t)\right\|}. Dividindo a forma fatorada:
\mathbf{N}(t)=\frac{12t^{2}(1+16t^{6})^{-3/2}(-4t^{3},\,1)}{12t^{2}(1+16t^{6})^{-1}} =(-4t^{3},\,1)\,(1+16t^{6})^{-1/2}.
Portanto
\mathbf{N}(t)=\left(\frac{-4t^{3}}{\sqrt{1+16t^{6}}},\;\frac{1}{\sqrt{1+16t^{6}}}\right).
Observação importante: em t=0 temos \mathbf{T}'(0)=\mathbf{0} e \kappa(0)=0, então \mathbf{N}(0) não é definido pela fórmula acima (a normal pode ser arbitrária quando a curvatura é zero). Para t\neq 0 a expressão de \mathbf{N}(t) é válida e tem norma 1 e é ortogonal a \mathbf{T}(t) (verificação: produto escalar \mathbf{T}\cdot\mathbf{N}=0).

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+16t^{6}}},\;\frac{4t^{3}}{\sqrt{1+16t^{6}}}\right)
\displaystyle \mathbf{N}(t)=\left(\frac{-4t^{3}}{\sqrt{1+16t^{6}}},\;\frac{1}{\sqrt{1+16t^{6}}}\right)\quad\text{(não definida em }t=0\text{)}ã
\displaystyle \kappa(t)=\frac{12t^{2}}{\bigl(1+16t^{6}\bigr)^{3/2}}

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