Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t) das curvas dadas abaixo. Determine a curvatura das seguintes curvas dadas abaixo. \alpha(t)=\left(t, t^{4}\right), \quad t \in \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado dá a curva \alpha(t)=\left(t,t^{4}\right) para t\in\mathbb{R} e pede duas coisas:
Determinar o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t).
Determinar o vetor normal unitário \mathbf{N}(t).
Determinar a curvatura \kappa(t).
Informações fornecidas que usarei diretamente:
As componentes da curva são x(t)=t e y(t)=t^{4}.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade (derivada) da curva e a sua norma, porque isso é o passo inicial para obter \mathbf{T}(t).
Definição que vou usar (explicada): a velocidade é \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)). A norma da velocidade (ou rapidez) é \left\|\alpha'(t)\right\|=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}. O vetor tangente unitário é a direção da velocidade normalizada:
Agora formamos o vetor tangente unitário dividindo componente a componente pela norma. Lembrete: ao normalizar, cada componente é dividida pela mesma norma.
Vou comentar didaticamente: \mathbf{T}(t) tem norma 1 por construção, e aponta na direção do movimento da curva. Para checar, calcule \left\|\mathbf{T}(t)\right\|=\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{1+16t^{6}}}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{4t^{3}}{\sqrt{1+16t^{6}}}\bigr)^{2}}=1.
Passo 4
Para obter a curvatura \kappa(t) de uma curva plana dada por \alpha(t)=(x(t),y(t)) (parametrização qualquer), existe uma fórmula prática:
Explicando as variáveis: x',y' são as primeiras derivadas, x'',y'' são as segundas derivadas; o numerador é o módulo do determinante formado por \alpha' e \alpha'', que mede a taxa de variação da direção, e o denominador normaliza pela rapidez ao cubo.
Comentário útil: em t=0 temos \kappa(0)=0, o que faz sentido — a curva tem segunda derivada nula ali e localmente se parece com uma reta.
Passo 5
Agora precisamos do vetor normal unitário \mathbf{N}(t). Definição que vou usar: o vetor normal unitário é a direção de variação do vetor tangente unitário; isto é
Isso coincide com \kappa(t)\left\|\alpha'(t)\right\|, porque \kappa(t)=\dfrac{12t^{2}}{(1+16t^{6})^{3/2}} e \left\|\alpha'(t)\right\|=\sqrt{1+16t^{6}}.
Agora a normal unitária é \mathbf{N}(t)=\dfrac{\mathbf{T}'(t)}{\left\|\mathbf{T}'(t)\right\|}. Dividindo a forma fatorada:
Observação importante: em t=0 temos \mathbf{T}'(0)=\mathbf{0} e \kappa(0)=0, então \mathbf{N}(0) não é definido pela fórmula acima (a normal pode ser arbitrária quando a curvatura é zero). Para t\neq 0 a expressão de \mathbf{N}(t) é válida e tem norma 1 e é ortogonal a \mathbf{T}(t) (verificação: produto escalar \mathbf{T}\cdot\mathbf{N}=0).